Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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14 / 2118 / 6198
↖ ↑ ↗
← N 40.078071°
W133.461914°		 ← 1 869.52 m → N 40.078071°
W133.439941°		 →
↑
1 869.70 m
↓
↑
1 869.70 m
↓
N 40.061257°
W133.461914°		 ← 1 869.98 m →
3 495 865 m²		 N 40.061257°
W133.439941°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 2118 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 6198 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.129302978515625 y=0.378326416015625 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.129302978515625 × 214)
    floor (0.129302978515625 × 16384)
    floor (2118.5)     		tx = 2118
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.378326416015625 × 214)
    floor (0.378326416015625 × 16384)
    floor (6198.5)     		ty = 6198
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 2118 / 6198 ti = "14/2118/6198"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/2118/6198.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 2118 ÷ 214
    2118 ÷ 16384     		x = 0.1292724609375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 6198 ÷ 214
    6198 ÷ 16384     		y = 0.3782958984375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.1292724609375 × 2 - 1) × π
    -0.741455078125 × 3.1415926535     		Λ = -2.32934983
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.3782958984375 × 2 - 1) × π
    0.243408203125 × 3.1415926535     		Φ = 0.764689422739136
    Länge (λ) Λ (unverändert) -2.32934983} λ = -2.32934983}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.764689422739136))-π/2
    2×atan(2.1483270495021)-π/2
    2×1.13514531551832-π/2
    2.27029063103664-1.57079632675     		φ = 0.69949430
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -2.32934983} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -133.461914°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.69949430 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 40.078071°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 2118 KachelY 6198 -2.32934983 0.69949430 -133.461914 40.078071
    Oben rechts KachelX + 1 2119 KachelY 6198 -2.32896633 0.69949430 -133.439941 40.078071
    Unten links KachelX 2118 KachelY + 1 6199 -2.32934983 0.69920083 -133.461914 40.061257
    Unten rechts KachelX + 1 2119 KachelY + 1 6199 -2.32896633 0.69920083 -133.439941 40.061257
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.69949430-0.69920083) × R
    0.000293470000000018 × 6371000     		dl = 1869.69737000011m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.69949430-0.69920083) × R
    0.000293470000000018 × 6371000     		dr = 1869.69737000011m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-2.32934983--2.32896633) × cos(0.69949430) × R
    0.00038349999999987 × 0.765167870357543 × 6371000     		do = 1869.51820653474m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-2.32934983--2.32896633) × cos(0.69920083) × R
    0.00038349999999987 × 0.765356782436901 × 6371000     		du = 1869.97977135662m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.69949430)-sin(0.69920083))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.765167870357543-0.765356782436901)×R²
    abs(-2.32896633--2.32934983)×0.000188912079358006×R²
    0.00038349999999987×0.000188912079358006×6371000²
    0.00038349999999987×0.000188912079358006×40589641000000     		ar = 3495864.7922831m²