Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
12 / 2118 / 1493
↖ ↑ ↗
← N 43.771094°
E  6.152344°		 ← 7 057.16 m → N 43.771094°
E  6.240235°		 →
↑
7 060.92 m
↓
↑
7 060.92 m
↓
N 43.707593°
E  6.152344°		 ← 7 064.65 m →
49 856 488 m²		 N 43.707593°
E  6.240235°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 12 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 2118 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 1493 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.5172119140625 y=0.3646240234375 und der Vergrößerungsstufe zoom=12 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.5172119140625 × 212)
    floor (0.5172119140625 × 4096)
    floor (2118.5)     		tx = 2118
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.3646240234375 × 212)
    floor (0.3646240234375 × 4096)
    floor (1493.5)     		ty = 1493
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 12 / 2118 / 1493 ti = "12/2118/1493"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/12/2118/1493.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 2118 ÷ 212
    2118 ÷ 4096     		x = 0.51708984375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 1493 ÷ 212
    1493 ÷ 4096     		y = 0.364501953125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.51708984375 × 2 - 1) × π
    0.0341796875 × 3.1415926535     		Λ = 0.10737866
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.364501953125 × 2 - 1) × π
    0.27099609375 × 3.1415926535     		Φ = 0.851359337252197
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.10737866} λ = 0.10737866}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.851359337252197))-π/2
    2×atan(2.34282938362569)-π/2
    2×1.16737301554826-π/2
    2.33474603109651-1.57079632675     		φ = 0.76394970
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.10737866} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 6.152344°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.76394970 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 43.771094°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 2118 KachelY 1493 0.10737866 0.76394970 6.152344 43.771094
    Oben rechts KachelX + 1 2119 KachelY 1493 0.10891264 0.76394970 6.240235 43.771094
    Unten links KachelX 2118 KachelY + 1 1494 0.10737866 0.76284141 6.152344 43.707593
    Unten rechts KachelX + 1 2119 KachelY + 1 1494 0.10891264 0.76284141 6.240235 43.707593
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.76394970-0.76284141) × R
    0.0011082899999999 × 6371000     		dl = 7060.91558999937m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.76394970-0.76284141) × R
    0.0011082899999999 × 6371000     		dr = 7060.91558999937m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.10737866-0.10891264) × cos(0.76394970) × R
    0.00153398 × 0.722109331023211 × 6371000     		do = 7057.16480138263m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.10737866-0.10891264) × cos(0.76284141) × R
    0.00153398 × 0.72287557907163 × 6371000     		du = 7064.65333327679m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.76394970)-sin(0.76284141))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.722109331023211-0.72287557907163)×R²
    abs(0.10891264-0.10737866)×0.000766248048419182×R²
    0.00153398×0.000766248048419182×6371000²
    0.00153398×0.000766248048419182×40589641000000     		ar = 49856488.01633m²