Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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12 / 2117 / 1399
↖ ↑ ↗
← N 49.439557°
E  6.064453°		 ← 6 354.92 m → N 49.439557°
E  6.152344°		 →
↑
6 358.58 m
↓
↑
6 358.58 m
↓
N 49.382373°
E  6.064453°		 ← 6 362.33 m →
40 431 827 m²		 N 49.382373°
E  6.152344°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 12 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 2117 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 1399 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.5169677734375 y=0.3416748046875 und der Vergrößerungsstufe zoom=12 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.5169677734375 × 212)
    floor (0.5169677734375 × 4096)
    floor (2117.5)     		tx = 2117
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.3416748046875 × 212)
    floor (0.3416748046875 × 4096)
    floor (1399.5)     		ty = 1399
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 12 / 2117 / 1399 ti = "12/2117/1399"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/12/2117/1399.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 2117 ÷ 212
    2117 ÷ 4096     		x = 0.516845703125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 1399 ÷ 212
    1399 ÷ 4096     		y = 0.341552734375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.516845703125 × 2 - 1) × π
    0.03369140625 × 3.1415926535     		Λ = 0.10584467
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.341552734375 × 2 - 1) × π
    0.31689453125 × 3.1415926535     		Φ = 0.995553531309326
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.10584467} λ = 0.10584467}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.995553531309326))-π/2
    2×atan(2.7062219053215)-π/2
    2×1.21683968821859-π/2
    2.43367937643719-1.57079632675     		φ = 0.86288305
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.10584467} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 6.064453°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.86288305 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 49.439557°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 2117 KachelY 1399 0.10584467 0.86288305 6.064453 49.439557
    Oben rechts KachelX + 1 2118 KachelY 1399 0.10737866 0.86288305 6.152344 49.439557
    Unten links KachelX 2117 KachelY + 1 1400 0.10584467 0.86188500 6.064453 49.382373
    Unten rechts KachelX + 1 2118 KachelY + 1 1400 0.10737866 0.86188500 6.152344 49.382373
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.86288305-0.86188500) × R
    0.000998049999999973 × 6371000     		dl = 6358.57654999983m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.86288305-0.86188500) × R
    0.000998049999999973 × 6371000     		dr = 6358.57654999983m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.10584467-0.10737866) × cos(0.86288305) × R
    0.00153399 × 0.650249861669064 × 6371000     		do = 6354.9245991573m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.10584467-0.10737866) × cos(0.86188500) × R
    0.00153399 × 0.651007776650759 × 6371000     		du = 6362.33174038895m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.86288305)-sin(0.86188500))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.650249861669064-0.651007776650759)×R²
    abs(0.10737866-0.10584467)×0.000757914981695307×R²
    0.00153399×0.000757914981695307×6371000²
    0.00153399×0.000757914981695307×40589641000000     		ar = 40431827.3266771m²