Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 21160 / 11176
↖ ↑ ↗
← N 81.553847°
W121.882324°		 ← 44.86 m → N 81.553847°
W121.879578°		 →
↑
44.85 m
↓
↑
44.85 m
↓
N 81.553443°
W121.882324°		 ← 44.86 m →
2 012 m²		 N 81.553443°
W121.879578°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 21160 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 11176 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.161441802978516 y=0.0852699279785156 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.161441802978516 × 217)
    floor (0.161441802978516 × 131072)
    floor (21160.5)     		tx = 21160
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.0852699279785156 × 217)
    floor (0.0852699279785156 × 131072)
    floor (11176.5)     		ty = 11176
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 21160 / 11176 ti = "17/21160/11176"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/21160/11176.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 21160 ÷ 217
    21160 ÷ 131072     		x = 0.16143798828125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 11176 ÷ 217
    11176 ÷ 131072     		y = 0.08526611328125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.16143798828125 × 2 - 1) × π
    -0.6771240234375 × 3.1415926535     		Λ = -2.12724786
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.08526611328125 × 2 - 1) × π
    0.8294677734375 × 3.1415926535     		Φ = 2.60584986334625
    Länge (λ) Λ (unverändert) -2.12724786} λ = -2.12724786}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.60584986334625))-π/2
    2×atan(13.5427298831305)-π/2
    2×1.49708973549376-π/2
    2.99417947098752-1.57079632675     		φ = 1.42338314
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -2.12724786} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -121.882324°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.42338314 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 81.553847°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 21160 KachelY 11176 -2.12724786 1.42338314 -121.882324 81.553847
    Oben rechts KachelX + 1 21161 KachelY 11176 -2.12719992 1.42338314 -121.879578 81.553847
    Unten links KachelX 21160 KachelY + 1 11177 -2.12724786 1.42337610 -121.882324 81.553443
    Unten rechts KachelX + 1 21161 KachelY + 1 11177 -2.12719992 1.42337610 -121.879578 81.553443
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.42338314-1.42337610) × R
    7.04000000006921e-06 × 6371000     		dl = 44.851840000441m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.42338314-1.42337610) × R
    7.04000000006921e-06 × 6371000     		dr = 44.851840000441m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-2.12724786--2.12719992) × cos(1.42338314) × R
    4.79400000004127e-05 × 0.146879869254945 × 6371000     		do = 44.8608927586811m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-2.12724786--2.12719992) × cos(1.42337610) × R
    4.79400000004127e-05 × 0.146886832897844 × 6371000     		du = 44.8630196344664m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.42338314)-sin(1.42337610))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.146879869254945-0.146886832897844)×R²
    abs(-2.12719992--2.12724786)×6.9636428983999e-06×R²
    4.79400000004127e-05×6.9636428983999e-06×6371000²
    4.79400000004127e-05×6.9636428983999e-06×40589641000000     		ar = 2012.14128144639m²