Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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12 / 2116 / 1465
↖ ↑ ↗
← N 45.521744°
E  5.976562°		 ← 6 847.33 m → N 45.521744°
E  6.064453°		 →
↑
6 851.05 m
↓
↑
6 851.05 m
↓
N 45.460131°
E  5.976562°		 ← 6 854.83 m →
46 937 118 m²		 N 45.460131°
E  6.064453°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 12 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 2116 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 1465 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.5167236328125 y=0.3577880859375 und der Vergrößerungsstufe zoom=12 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.5167236328125 × 212)
    floor (0.5167236328125 × 4096)
    floor (2116.5)     		tx = 2116
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.3577880859375 × 212)
    floor (0.3577880859375 × 4096)
    floor (1465.5)     		ty = 1465
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 12 / 2116 / 1465 ti = "12/2116/1465"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/12/2116/1465.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 2116 ÷ 212
    2116 ÷ 4096     		x = 0.5166015625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 1465 ÷ 212
    1465 ÷ 4096     		y = 0.357666015625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.5166015625 × 2 - 1) × π
    0.033203125 × 3.1415926535     		Λ = 0.10431069
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.357666015625 × 2 - 1) × π
    0.28466796875 × 3.1415926535     		Φ = 0.894310799311768
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.10431069} λ = 0.10431069}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.894310799311768))-π/2
    2×atan(2.44564966505767)-π/2
    2×1.18265031951458-π/2
    2.36530063902916-1.57079632675     		φ = 0.79450431
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.10431069} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 5.976562°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.79450431 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 45.521744°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 2116 KachelY 1465 0.10431069 0.79450431 5.976562 45.521744
    Oben rechts KachelX + 1 2117 KachelY 1465 0.10584467 0.79450431 6.064453 45.521744
    Unten links KachelX 2116 KachelY + 1 1466 0.10431069 0.79342896 5.976562 45.460131
    Unten rechts KachelX + 1 2117 KachelY + 1 1466 0.10584467 0.79342896 6.064453 45.460131
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.79450431-0.79342896) × R
    0.00107535000000003 × 6371000     		dl = 6851.05485000019m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.79450431-0.79342896) × R
    0.00107535000000003 × 6371000     		dr = 6851.05485000019m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.10431069-0.10584467) × cos(0.79450431) × R
    0.00153398 × 0.700638535043895 × 6371000     		do = 6847.33100041486m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.10431069-0.10584467) × cos(0.79342896) × R
    0.00153398 × 0.701405409648006 × 6371000     		du = 6854.82565562939m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.79450431)-sin(0.79342896))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.700638535043895-0.701405409648006)×R²
    abs(0.10584467-0.10431069)×0.000766874604111734×R²
    0.00153398×0.000766874604111734×6371000²
    0.00153398×0.000766874604111734×40589641000000     		ar = 46937117.930015m²