Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 21152 / 31328
↖ ↑ ↗
← N 68.040461°
W121.904297°		 ← 114.19 m → N 68.040461°
W121.901551°		 →
↑
114.17 m
↓
↑
114.17 m
↓
N 68.039434°
W121.904297°		 ← 114.20 m →
13 037 m²		 N 68.039434°
W121.901551°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 21152 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 31328 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.161380767822266 y=0.239017486572266 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.161380767822266 × 217)
    floor (0.161380767822266 × 131072)
    floor (21152.5)     		tx = 21152
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.239017486572266 × 217)
    floor (0.239017486572266 × 131072)
    floor (31328.5)     		ty = 31328
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 21152 / 31328 ti = "17/21152/31328"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/21152/31328.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 21152 ÷ 217
    21152 ÷ 131072     		x = 0.161376953125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 31328 ÷ 217
    31328 ÷ 131072     		y = 0.239013671875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.161376953125 × 2 - 1) × π
    -0.67724609375 × 3.1415926535     		Λ = -2.12763135
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.239013671875 × 2 - 1) × π
    0.52197265625 × 3.1415926535     		Φ = 1.63982546220288
    Länge (λ) Λ (unverändert) -2.12763135} λ = -2.12763135}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.63982546220288))-π/2
    2×atan(5.15426981882178)-π/2
    2×1.37916320016171-π/2
    2.75832640032341-1.57079632675     		φ = 1.18753007
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -2.12763135} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -121.904297°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.18753007 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 68.040461°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 21152 KachelY 31328 -2.12763135 1.18753007 -121.904297 68.040461
    Oben rechts KachelX + 1 21153 KachelY 31328 -2.12758342 1.18753007 -121.901551 68.040461
    Unten links KachelX 21152 KachelY + 1 31329 -2.12763135 1.18751215 -121.904297 68.039434
    Unten rechts KachelX + 1 21153 KachelY + 1 31329 -2.12758342 1.18751215 -121.901551 68.039434
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.18753007-1.18751215) × R
    1.79199999998936e-05 × 6371000     		dl = 114.168319999322m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.18753007-1.18751215) × R
    1.79199999998936e-05 × 6371000     		dr = 114.168319999322m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-2.12763135--2.12758342) × cos(1.18753007) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.373951742627355 × 6371000     		do = 114.190663250796m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-2.12763135--2.12758342) × cos(1.18751215) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.373968362438383 × 6371000     		du = 114.19573831003m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.18753007)-sin(1.18751215))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.373951742627355-0.373968362438383)×R²
    abs(-2.12758342--2.12763135)×1.66198110287397e-05×R²
    4.79300000000293e-05×1.66198110287397e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×1.66198110287397e-05×40589641000000     		ar = 13037.24588894m²