Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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14 / 2113 / 6255
↖ ↑ ↗
← N 39.113014°
W133.571777°		 ← 1 895.70 m → N 39.113014°
W133.549805°		 →
↑
1 895.95 m
↓
↑
1 895.95 m
↓
N 39.095963°
W133.571777°		 ← 1 896.16 m →
3 594 576 m²		 N 39.095963°
W133.549805°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 2113 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 6255 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.128997802734375 y=0.381805419921875 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.128997802734375 × 214)
    floor (0.128997802734375 × 16384)
    floor (2113.5)     		tx = 2113
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.381805419921875 × 214)
    floor (0.381805419921875 × 16384)
    floor (6255.5)     		ty = 6255
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 2113 / 6255 ti = "14/2113/6255"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/2113/6255.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 2113 ÷ 214
    2113 ÷ 16384     		x = 0.12896728515625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 6255 ÷ 214
    6255 ÷ 16384     		y = 0.38177490234375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.12896728515625 × 2 - 1) × π
    -0.7420654296875 × 3.1415926535     		Λ = -2.33126730
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.38177490234375 × 2 - 1) × π
    0.2364501953125 × 3.1415926535     		Φ = 0.74283019651239
    Länge (λ) Λ (unverändert) -2.33126730} λ = -2.33126730}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.74283019651239))-π/2
    2×atan(2.10187582603702)-π/2
    2×1.12672359768729-π/2
    2.25344719537458-1.57079632675     		φ = 0.68265087
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -2.33126730} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -133.571777°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.68265087 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 39.113014°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 2113 KachelY 6255 -2.33126730 0.68265087 -133.571777 39.113014
    Oben rechts KachelX + 1 2114 KachelY 6255 -2.33088381 0.68265087 -133.549805 39.113014
    Unten links KachelX 2113 KachelY + 1 6256 -2.33126730 0.68235328 -133.571777 39.095963
    Unten rechts KachelX + 1 2114 KachelY + 1 6256 -2.33088381 0.68235328 -133.549805 39.095963
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.68265087-0.68235328) × R
    0.00029759000000007 × 6371000     		dl = 1895.94589000044m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.68265087-0.68235328) × R
    0.00029759000000007 × 6371000     		dr = 1895.94589000044m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-2.33126730--2.33088381) × cos(0.68265087) × R
    0.000383489999999931 × 0.775903140095939 × 6371000     		do = 1895.6980274895m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-2.33126730--2.33088381) × cos(0.68235328) × R
    0.000383489999999931 × 0.776090840999745 × 6371000     		du = 1896.15662111377m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.68265087)-sin(0.68235328))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.775903140095939-0.776090840999745)×R²
    abs(-2.33088381--2.33126730)×0.000187700903806376×R²
    0.000383489999999931×0.000187700903806376×6371000²
    0.000383489999999931×0.000187700903806376×40589641000000     		ar = 3594575.64477689m²