Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 21129 / 12410
↖ ↑ ↗
← N 81.041183°
W121.967468°		 ← 47.56 m → N 81.041183°
W121.964721°		 →
↑
47.53 m
↓
↑
47.53 m
↓
N 81.040756°
W121.967468°		 ← 47.56 m →
2 261 m²		 N 81.040756°
W121.964721°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 21129 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 12410 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.161205291748047 y=0.0946846008300781 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.161205291748047 × 217)
    floor (0.161205291748047 × 131072)
    floor (21129.5)     		tx = 21129
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.0946846008300781 × 217)
    floor (0.0946846008300781 × 131072)
    floor (12410.5)     		ty = 12410
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 21129 / 12410 ti = "17/21129/12410"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/21129/12410.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 21129 ÷ 217
    21129 ÷ 131072     		x = 0.161201477050781
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 12410 ÷ 217
    12410 ÷ 131072     		y = 0.0946807861328125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.161201477050781 × 2 - 1) × π
    -0.677597045898438 × 3.1415926535     		Λ = -2.12873390
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.0946807861328125 × 2 - 1) × π
    0.810638427734375 × 3.1415926535     		Φ = 2.5466957292151
    Länge (λ) Λ (unverändert) -2.12873390} λ = -2.12873390}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.5466957292151))-π/2
    2×atan(12.764855482147)-π/2
    2×1.49261590571831-π/2
    2.98523181143662-1.57079632675     		φ = 1.41443548
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -2.12873390} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -121.967468°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.41443548 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 81.041183°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 21129 KachelY 12410 -2.12873390 1.41443548 -121.967468 81.041183
    Oben rechts KachelX + 1 21130 KachelY 12410 -2.12868596 1.41443548 -121.964721 81.041183
    Unten links KachelX 21129 KachelY + 1 12411 -2.12873390 1.41442802 -121.967468 81.040756
    Unten rechts KachelX + 1 21130 KachelY + 1 12411 -2.12868596 1.41442802 -121.964721 81.040756
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.41443548-1.41442802) × R
    7.46000000018121e-06 × 6371000     		dl = 47.5276600011545m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.41443548-1.41442802) × R
    7.46000000018121e-06 × 6371000     		dr = 47.5276600011545m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-2.12873390--2.12868596) × cos(1.41443548) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.155724488252588 × 6371000     		do = 47.5622670606368m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-2.12873390--2.12868596) × cos(1.41442802) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.155731857240196 × 6371000     		du = 47.5645177391301m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.41443548)-sin(1.41442802))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.155724488252588-0.155731857240196)×R²
    abs(-2.12868596--2.12873390)×7.36898760825277e-06×R²
    4.79399999999686e-05×7.36898760825277e-06×6371000²
    4.79399999999686e-05×7.36898760825277e-06×40589641000000     		ar = 2260.5767424248m²