Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 21128 / 12409
↖ ↑ ↗
← N 81.041611°
W121.970215°		 ← 47.56 m → N 81.041611°
W121.967468°		 →
↑
47.59 m
↓
↑
47.59 m
↓
N 81.041183°
W121.970215°		 ← 47.56 m →
2 263 m²		 N 81.041183°
W121.967468°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 21128 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 12409 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.161197662353516 y=0.0946769714355469 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.161197662353516 × 217)
    floor (0.161197662353516 × 131072)
    floor (21128.5)     		tx = 21128
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.0946769714355469 × 217)
    floor (0.0946769714355469 × 131072)
    floor (12409.5)     		ty = 12409
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 21128 / 12409 ti = "17/21128/12409"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/21128/12409.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 21128 ÷ 217
    21128 ÷ 131072     		x = 0.16119384765625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 12409 ÷ 217
    12409 ÷ 131072     		y = 0.0946731567382812
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.16119384765625 × 2 - 1) × π
    -0.6776123046875 × 3.1415926535     		Λ = -2.12878184
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.0946731567382812 × 2 - 1) × π
    0.810653686523438 × 3.1415926535     		Φ = 2.54674366611472
    Länge (λ) Λ (unverändert) -2.12878184} λ = -2.12878184}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.54674366611472))-π/2
    2×atan(12.7654674044096)-π/2
    2×1.49261963810441-π/2
    2.98523927620882-1.57079632675     		φ = 1.41444295
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -2.12878184} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -121.970215°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.41444295 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 81.041611°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 21128 KachelY 12409 -2.12878184 1.41444295 -121.970215 81.041611
    Oben rechts KachelX + 1 21129 KachelY 12409 -2.12873390 1.41444295 -121.967468 81.041611
    Unten links KachelX 21128 KachelY + 1 12410 -2.12878184 1.41443548 -121.970215 81.041183
    Unten rechts KachelX + 1 21129 KachelY + 1 12410 -2.12873390 1.41443548 -121.967468 81.041183
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.41444295-1.41443548) × R
    7.46999999989839e-06 × 6371000     		dl = 47.5913699993527m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.41444295-1.41443548) × R
    7.46999999989839e-06 × 6371000     		dr = 47.5913699993527m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-2.12878184--2.12873390) × cos(1.41444295) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.155717109378297 × 6371000     		do = 47.5600133624961m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-2.12878184--2.12873390) × cos(1.41443548) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.155724488252588 × 6371000     		du = 47.5622670606368m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.41444295)-sin(1.41443548))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.155717109378297-0.155724488252588)×R²
    abs(-2.12873390--2.12878184)×7.37887429119732e-06×R²
    4.79399999999686e-05×7.37887429119732e-06×6371000²
    4.79399999999686e-05×7.37887429119732e-06×40589641000000     		ar = 2263.49982145326m²