Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
15 / 21126 / 5130
↖ ↑ ↗
← N 76.815782°
E 52.097168°		 ← 278.63 m → N 76.815782°
E 52.108154°		 →
↑
278.67 m
↓
↑
278.67 m
↓
N 76.813276°
E 52.097168°		 ← 278.69 m →
77 654 m²		 N 76.813276°
E 52.108154°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 21126 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 5130 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.644729614257812 y=0.156570434570312 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.644729614257812 × 215)
    floor (0.644729614257812 × 32768)
    floor (21126.5)     		tx = 21126
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.156570434570312 × 215)
    floor (0.156570434570312 × 32768)
    floor (5130.5)     		ty = 5130
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 21126 / 5130 ti = "15/21126/5130"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/21126/5130.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 21126 ÷ 215
    21126 ÷ 32768     		x = 0.64471435546875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 5130 ÷ 215
    5130 ÷ 32768     		y = 0.15655517578125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.64471435546875 × 2 - 1) × π
    0.2894287109375 × 3.1415926535     		Λ = 0.90926711
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.15655517578125 × 2 - 1) × π
    0.6868896484375 × 3.1415926535     		Φ = 2.15792747329645
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.90926711} λ = 0.90926711}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.15792747329645))-π/2
    2×atan(8.65318510411632)-π/2
    2×1.45574231902584-π/2
    2.91148463805167-1.57079632675     		φ = 1.34068831
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.90926711} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 52.097168°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.34068831 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 76.815782°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 21126 KachelY 5130 0.90926711 1.34068831 52.097168 76.815782
    Oben rechts KachelX + 1 21127 KachelY 5130 0.90945886 1.34068831 52.108154 76.815782
    Unten links KachelX 21126 KachelY + 1 5131 0.90926711 1.34064457 52.097168 76.813276
    Unten rechts KachelX + 1 21127 KachelY + 1 5131 0.90945886 1.34064457 52.108154 76.813276
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.34068831-1.34064457) × R
    4.37399999999588e-05 × 6371000     		dl = 278.667539999738m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.34068831-1.34064457) × R
    4.37399999999588e-05 × 6371000     		dr = 278.667539999738m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.90926711-0.90945886) × cos(1.34068831) × R
    0.000191749999999935 × 0.228082694528292 × 6371000     		do = 278.634771881428m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.90926711-0.90945886) × cos(1.34064457) × R
    0.000191749999999935 × 0.22812528140085 × 6371000     		du = 278.686797676479m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.34068831)-sin(1.34064457))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.228082694528292-0.22812528140085)×R²
    abs(0.90945886-0.90926711)×4.25868725579259e-05×R²
    0.000191749999999935×4.25868725579259e-05×6371000²
    0.000191749999999935×4.25868725579259e-05×40589641000000     		ar = 77653.7154016041m²