Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 21126 / 5102
↖ ↑ ↗
← N 76.885761°
E 52.097168°		 ← 277.18 m → N 76.885761°
E 52.108154°		 →
↑
277.20 m
↓
↑
277.20 m
↓
N 76.883268°
E 52.097168°		 ← 277.23 m →
76 843 m²		 N 76.883268°
E 52.108154°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 21126 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 5102 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.644729614257812 y=0.155715942382812 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.644729614257812 × 215)
    floor (0.644729614257812 × 32768)
    floor (21126.5)     		tx = 21126
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.155715942382812 × 215)
    floor (0.155715942382812 × 32768)
    floor (5102.5)     		ty = 5102
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 21126 / 5102 ti = "15/21126/5102"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/21126/5102.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 21126 ÷ 215
    21126 ÷ 32768     		x = 0.64471435546875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 5102 ÷ 215
    5102 ÷ 32768     		y = 0.15570068359375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.64471435546875 × 2 - 1) × π
    0.2894287109375 × 3.1415926535     		Λ = 0.90926711
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.15570068359375 × 2 - 1) × π
    0.6885986328125 × 3.1415926535     		Φ = 2.16329640605389
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.90926711} λ = 0.90926711}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.16329640605389))-π/2
    2×atan(8.69976841250459)-π/2
    2×1.4563530016581-π/2
    2.9127060033162-1.57079632675     		φ = 1.34190968
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.90926711} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 52.097168°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.34190968 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 76.885761°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 21126 KachelY 5102 0.90926711 1.34190968 52.097168 76.885761
    Oben rechts KachelX + 1 21127 KachelY 5102 0.90945886 1.34190968 52.108154 76.885761
    Unten links KachelX 21126 KachelY + 1 5103 0.90926711 1.34186617 52.097168 76.883268
    Unten rechts KachelX + 1 21127 KachelY + 1 5103 0.90945886 1.34186617 52.108154 76.883268
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.34190968-1.34186617) × R
    4.35100000000244e-05 × 6371000     		dl = 277.202210000155m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.34190968-1.34186617) × R
    4.35100000000244e-05 × 6371000     		dr = 277.202210000155m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.90926711-0.90945886) × cos(1.34190968) × R
    0.000191749999999935 × 0.226893347862195 × 6371000     		do = 277.181819312267m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.90926711-0.90945886) × cos(1.34186617) × R
    0.000191749999999935 × 0.226935722889688 × 6371000     		du = 277.233586309073m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.34190968)-sin(1.34186617))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.226893347862195-0.226935722889688)×R²
    abs(0.90945886-0.90926711)×4.23750274932133e-05×R²
    0.000191749999999935×4.23750274932133e-05×6371000²
    0.000191749999999935×4.23750274932133e-05×40589641000000     		ar = 76842.5878600561m²