Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 21124 / 12411
↖ ↑ ↗
← N 81.040756°
W121.981201°		 ← 47.56 m → N 81.040756°
W121.978455°		 →
↑
47.59 m
↓
↑
47.59 m
↓
N 81.040328°
W121.981201°		 ← 47.57 m →
2 264 m²		 N 81.040328°
W121.978455°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 21124 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 12411 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.161167144775391 y=0.0946922302246094 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.161167144775391 × 217)
    floor (0.161167144775391 × 131072)
    floor (21124.5)     		tx = 21124
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.0946922302246094 × 217)
    floor (0.0946922302246094 × 131072)
    floor (12411.5)     		ty = 12411
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 21124 / 12411 ti = "17/21124/12411"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/21124/12411.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 21124 ÷ 217
    21124 ÷ 131072     		x = 0.161163330078125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 12411 ÷ 217
    12411 ÷ 131072     		y = 0.0946884155273438
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.161163330078125 × 2 - 1) × π
    -0.67767333984375 × 3.1415926535     		Λ = -2.12897359
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.0946884155273438 × 2 - 1) × π
    0.810623168945312 × 3.1415926535     		Φ = 2.54664779231548
    Länge (λ) Λ (unverändert) -2.12897359} λ = -2.12897359}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.54664779231548))-π/2
    2×atan(12.7642435892173)-π/2
    2×1.49261217315547-π/2
    2.98522434631094-1.57079632675     		φ = 1.41442802
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -2.12897359} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -121.981201°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.41442802 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 81.040756°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 21124 KachelY 12411 -2.12897359 1.41442802 -121.981201 81.040756
    Oben rechts KachelX + 1 21125 KachelY 12411 -2.12892565 1.41442802 -121.978455 81.040756
    Unten links KachelX 21124 KachelY + 1 12412 -2.12897359 1.41442055 -121.981201 81.040328
    Unten rechts KachelX + 1 21125 KachelY + 1 12412 -2.12892565 1.41442055 -121.978455 81.040328
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.41442802-1.41442055) × R
    7.46999999989839e-06 × 6371000     		dl = 47.5913699993527m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.41442802-1.41442055) × R
    7.46999999989839e-06 × 6371000     		dr = 47.5913699993527m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-2.12897359--2.12892565) × cos(1.41442802) × R
    4.79400000004127e-05 × 0.155731857240196 × 6371000     		do = 47.5645177395707m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-2.12897359--2.12892565) × cos(1.41442055) × R
    4.79400000004127e-05 × 0.15573923609712 × 6371000     		du = 47.5667714324069m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.41442802)-sin(1.41442055))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.155731857240196-0.15573923609712)×R²
    abs(-2.12892565--2.12897359)×7.37885692328466e-06×R²
    4.79400000004127e-05×7.37885692328466e-06×6371000²
    4.79400000004127e-05×7.37885692328466e-06×40589641000000     		ar = 2263.71419074078m²