Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 21122 / 12418
↖ ↑ ↗
← N 81.037761°
W121.986694°		 ← 47.58 m → N 81.037761°
W121.983948°		 →
↑
47.53 m
↓
↑
47.53 m
↓
N 81.037334°
W121.986694°		 ← 47.58 m →
2 261 m²		 N 81.037334°
W121.983948°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 21122 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 12418 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.161151885986328 y=0.0947456359863281 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.161151885986328 × 217)
    floor (0.161151885986328 × 131072)
    floor (21122.5)     		tx = 21122
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.0947456359863281 × 217)
    floor (0.0947456359863281 × 131072)
    floor (12418.5)     		ty = 12418
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 21122 / 12418 ti = "17/21122/12418"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/21122/12418.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 21122 ÷ 217
    21122 ÷ 131072     		x = 0.161148071289062
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 12418 ÷ 217
    12418 ÷ 131072     		y = 0.0947418212890625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.161148071289062 × 2 - 1) × π
    -0.677703857421875 × 3.1415926535     		Λ = -2.12906946
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.0947418212890625 × 2 - 1) × π
    0.810516357421875 × 3.1415926535     		Φ = 2.54631223401814
    Länge (λ) Λ (unverändert) -2.12906946} λ = -2.12906946}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.54631223401814))-π/2
    2×atan(12.7599611599142)-π/2
    2×1.49258604026615-π/2
    2.9851720805323-1.57079632675     		φ = 1.41437575
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -2.12906946} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -121.986694°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.41437575 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 81.037761°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 21122 KachelY 12418 -2.12906946 1.41437575 -121.986694 81.037761
    Oben rechts KachelX + 1 21123 KachelY 12418 -2.12902152 1.41437575 -121.983948 81.037761
    Unten links KachelX 21122 KachelY + 1 12419 -2.12906946 1.41436829 -121.986694 81.037334
    Unten rechts KachelX + 1 21123 KachelY + 1 12419 -2.12902152 1.41436829 -121.983948 81.037334
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.41437575-1.41436829) × R
    7.45999999995917e-06 × 6371000     		dl = 47.5276599997398m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.41437575-1.41436829) × R
    7.45999999995917e-06 × 6371000     		dr = 47.5276599997398m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-2.12906946--2.12902152) × cos(1.41437575) × R
    4.79400000004127e-05 × 0.155783489300323 × 6371000     		do = 47.5802874997427m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-2.12906946--2.12902152) × cos(1.41436829) × R
    4.79400000004127e-05 × 0.155790858218527 × 6371000     		du = 47.5825381570384m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.41437575)-sin(1.41436829))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.155783489300323-0.155790858218527)×R²
    abs(-2.12902152--2.12906946)×7.36891820463104e-06×R²
    4.79400000004127e-05×7.36891820463104e-06×6371000²
    4.79400000004127e-05×7.36891820463104e-06×40589641000000     		ar = 2261.43321106204m²