Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 21120 / 13185
↖ ↑ ↗
← N 80.703553°
W121.992187°		 ← 49.33 m → N 80.703553°
W121.989441°		 →
↑
49.38 m
↓
↑
49.38 m
↓
N 80.703109°
W121.992187°		 ← 49.33 m →
2 436 m²		 N 80.703109°
W121.989441°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 21120 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 13185 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.161136627197266 y=0.100597381591797 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.161136627197266 × 217)
    floor (0.161136627197266 × 131072)
    floor (21120.5)     		tx = 21120
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.100597381591797 × 217)
    floor (0.100597381591797 × 131072)
    floor (13185.5)     		ty = 13185
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 21120 / 13185 ti = "17/21120/13185"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/21120/13185.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 21120 ÷ 217
    21120 ÷ 131072     		x = 0.1611328125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 13185 ÷ 217
    13185 ÷ 131072     		y = 0.100593566894531
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.1611328125 × 2 - 1) × π
    -0.677734375 × 3.1415926535     		Λ = -2.12916533
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.100593566894531 × 2 - 1) × π
    0.798812866210938 × 3.1415926535     		Φ = 2.50954463200956
    Länge (λ) Λ (unverändert) -2.12916533} λ = -2.12916533}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.50954463200956))-π/2
    2×atan(12.2993280648178)-π/2
    2×1.48966952224636-π/2
    2.97933904449272-1.57079632675     		φ = 1.40854272
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -2.12916533} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -121.992187°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.40854272 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 80.703553°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 21120 KachelY 13185 -2.12916533 1.40854272 -121.992187 80.703553
    Oben rechts KachelX + 1 21121 KachelY 13185 -2.12911740 1.40854272 -121.989441 80.703553
    Unten links KachelX 21120 KachelY + 1 13186 -2.12916533 1.40853497 -121.992187 80.703109
    Unten rechts KachelX + 1 21121 KachelY + 1 13186 -2.12911740 1.40853497 -121.989441 80.703109
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.40854272-1.40853497) × R
    7.74999999997306e-06 × 6371000     		dl = 49.3752499998283m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.40854272-1.40853497) × R
    7.74999999997306e-06 × 6371000     		dr = 49.3752499998283m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-2.12916533--2.12911740) × cos(1.40854272) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.161542622276963 × 6371000     		do = 49.328983070047m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-2.12916533--2.12911740) × cos(1.40853497) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.161550270481567 × 6371000     		du = 49.3313185413306m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.40854272)-sin(1.40853497))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.161542622276963-0.161550270481567)×R²
    abs(-2.12911740--2.12916533)×7.6482046037496e-06×R²
    4.79300000000293e-05×7.6482046037496e-06×6371000²
    4.79300000000293e-05×7.6482046037496e-06×40589641000000     		ar = 2435.68852865311m²