Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 21117 / 5118
↖ ↑ ↗
← N 76.845818°
E 51.998291°		 ← 278.01 m → N 76.845818°
E 52.009277°		 →
↑
278.03 m
↓
↑
278.03 m
↓
N 76.843318°
E 51.998291°		 ← 278.06 m →
77 303 m²		 N 76.843318°
E 52.009277°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 21117 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 5118 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.644454956054688 y=0.156204223632812 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.644454956054688 × 215)
    floor (0.644454956054688 × 32768)
    floor (21117.5)     		tx = 21117
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.156204223632812 × 215)
    floor (0.156204223632812 × 32768)
    floor (5118.5)     		ty = 5118
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 21117 / 5118 ti = "15/21117/5118"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/21117/5118.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 21117 ÷ 215
    21117 ÷ 32768     		x = 0.644439697265625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 5118 ÷ 215
    5118 ÷ 32768     		y = 0.15618896484375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.644439697265625 × 2 - 1) × π
    0.28887939453125 × 3.1415926535     		Λ = 0.90754138
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.15618896484375 × 2 - 1) × π
    0.6876220703125 × 3.1415926535     		Φ = 2.16022844447821
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.90754138} λ = 0.90754138}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.16022844447821))-π/2
    2×atan(8.67311875825837)-π/2
    2×1.45600443114863-π/2
    2.91200886229725-1.57079632675     		φ = 1.34121254
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.90754138} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 51.998291°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.34121254 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 76.845818°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 21117 KachelY 5118 0.90754138 1.34121254 51.998291 76.845818
    Oben rechts KachelX + 1 21118 KachelY 5118 0.90773313 1.34121254 52.009277 76.845818
    Unten links KachelX 21117 KachelY + 1 5119 0.90754138 1.34116890 51.998291 76.843318
    Unten rechts KachelX + 1 21118 KachelY + 1 5119 0.90773313 1.34116890 52.009277 76.843318
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.34121254-1.34116890) × R
    4.36399999999004e-05 × 6371000     		dl = 278.030439999366m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.34121254-1.34116890) × R
    4.36399999999004e-05 × 6371000     		dr = 278.030439999366m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.90754138-0.90773313) × cos(1.34121254) × R
    0.000191750000000046 × 0.227572250989258 × 6371000     		do = 278.011194019396m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.90754138-0.90773313) × cos(1.34116890) × R
    0.000191750000000046 × 0.227614745711222 × 6371000     		du = 278.063107239665m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.34121254)-sin(1.34116890))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.227572250989258-0.227614745711222)×R²
    abs(0.90773313-0.90754138)×4.24947219638261e-05×R²
    0.000191750000000046×4.24947219638261e-05×6371000²
    0.000191750000000046×4.24947219638261e-05×40589641000000     		ar = 77302.7913380383m²