Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 21117 / 11134
↖ ↑ ↗
← N 81.570773°
W122.000427°		 ← 44.76 m → N 81.570773°
W121.997681°		 →
↑
44.79 m
↓
↑
44.79 m
↓
N 81.570371°
W122.000427°		 ← 44.76 m →
2 005 m²		 N 81.570371°
W121.997681°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 21117 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 11134 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.161113739013672 y=0.0849494934082031 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.161113739013672 × 217)
    floor (0.161113739013672 × 131072)
    floor (21117.5)     		tx = 21117
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.0849494934082031 × 217)
    floor (0.0849494934082031 × 131072)
    floor (11134.5)     		ty = 11134
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 21117 / 11134 ti = "17/21117/11134"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/21117/11134.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 21117 ÷ 217
    21117 ÷ 131072     		x = 0.161109924316406
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 11134 ÷ 217
    11134 ÷ 131072     		y = 0.0849456787109375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.161109924316406 × 2 - 1) × π
    -0.677780151367188 × 3.1415926535     		Λ = -2.12930914
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.0849456787109375 × 2 - 1) × π
    0.830108642578125 × 3.1415926535     		Φ = 2.60786321313029
    Länge (λ) Λ (unverändert) -2.12930914} λ = -2.12930914}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.60786321313029))-π/2
    2×atan(13.5700236020979)-π/2
    2×1.49723744862877-π/2
    2.99447489725754-1.57079632675     		φ = 1.42367857
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -2.12930914} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -122.000427°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.42367857 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 81.570773°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 21117 KachelY 11134 -2.12930914 1.42367857 -122.000427 81.570773
    Oben rechts KachelX + 1 21118 KachelY 11134 -2.12926121 1.42367857 -121.997681 81.570773
    Unten links KachelX 21117 KachelY + 1 11135 -2.12930914 1.42367154 -122.000427 81.570371
    Unten rechts KachelX + 1 21118 KachelY + 1 11135 -2.12926121 1.42367154 -121.997681 81.570371
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.42367857-1.42367154) × R
    7.03000000012999e-06 × 6371000     		dl = 44.7881300008282m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.42367857-1.42367154) × R
    7.03000000012999e-06 × 6371000     		dr = 44.7881300008282m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-2.12930914--2.12926121) × cos(1.42367857) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.146587636983422 × 6371000     		do = 44.7622984021881m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-2.12930914--2.12926121) × cos(1.42367154) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.146594591039541 × 6371000     		du = 44.7644219068816m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.42367857)-sin(1.42367154))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.146587636983422-0.146594591039541)×R²
    abs(-2.12926121--2.12930914)×6.95405611997324e-06×R²
    4.79300000000293e-05×6.95405611997324e-06×6371000²
    4.79300000000293e-05×6.95405611997324e-06×40589641000000     		ar = 2004.86719376958m²