Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
15 / 21110 / 4947
↖ ↑ ↗
← N 77.266592°
E 51.921387°		 ← 269.27 m → N 77.266592°
E 51.932373°		 →
↑
269.24 m
↓
↑
269.24 m
↓
N 77.264171°
E 51.921387°		 ← 269.32 m →
72 504 m²		 N 77.264171°
E 51.932373°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 21110 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 4947 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.644241333007812 y=0.150985717773438 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.644241333007812 × 215)
    floor (0.644241333007812 × 32768)
    floor (21110.5)     		tx = 21110
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.150985717773438 × 215)
    floor (0.150985717773438 × 32768)
    floor (4947.5)     		ty = 4947
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 21110 / 4947 ti = "15/21110/4947"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/21110/4947.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 21110 ÷ 215
    21110 ÷ 32768     		x = 0.64422607421875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 4947 ÷ 215
    4947 ÷ 32768     		y = 0.150970458984375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.64422607421875 × 2 - 1) × π
    0.2884521484375 × 3.1415926535     		Λ = 0.90619915
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.150970458984375 × 2 - 1) × π
    0.69805908203125 × 3.1415926535     		Φ = 2.19301728381833
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.90619915} λ = 0.90619915}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.19301728381833))-π/2
    2×atan(8.96221390267878)-π/2
    2×1.45967638055033-π/2
    2.91935276110065-1.57079632675     		φ = 1.34855643
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.90619915} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 51.921387°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.34855643 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 77.266592°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 21110 KachelY 4947 0.90619915 1.34855643 51.921387 77.266592
    Oben rechts KachelX + 1 21111 KachelY 4947 0.90639090 1.34855643 51.932373 77.266592
    Unten links KachelX 21110 KachelY + 1 4948 0.90619915 1.34851417 51.921387 77.264171
    Unten rechts KachelX + 1 21111 KachelY + 1 4948 0.90639090 1.34851417 51.932373 77.264171
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.34855643-1.34851417) × R
    4.22599999998496e-05 × 6371000     		dl = 269.238459999042m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.34855643-1.34851417) × R
    4.22599999998496e-05 × 6371000     		dr = 269.238459999042m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.90619915-0.90639090) × cos(1.34855643) × R
    0.000191750000000046 × 0.220414983378138 × 6371000     		do = 269.267594982896m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.90619915-0.90639090) × cos(1.34851417) × R
    0.000191750000000046 × 0.220456203846886 × 6371000     		du = 269.317951525422m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.34855643)-sin(1.34851417))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.220414983378138-0.220456203846886)×R²
    abs(0.90639090-0.90619915)×4.12204687481876e-05×R²
    0.000191750000000046×4.12204687481876e-05×6371000²
    0.000191750000000046×4.12204687481876e-05×40589641000000     		ar = 72503.971571328m²