Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 21110 / 13198
↖ ↑ ↗
← N 80.697783°
W122.019653°		 ← 49.36 m → N 80.697783°
W122.016907°		 →
↑
49.38 m
↓
↑
49.38 m
↓
N 80.697339°
W122.019653°		 ← 49.36 m →
2 437 m²		 N 80.697339°
W122.016907°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 21110 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 13198 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.161060333251953 y=0.100696563720703 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.161060333251953 × 217)
    floor (0.161060333251953 × 131072)
    floor (21110.5)     		tx = 21110
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.100696563720703 × 217)
    floor (0.100696563720703 × 131072)
    floor (13198.5)     		ty = 13198
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 21110 / 13198 ti = "17/21110/13198"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/21110/13198.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 21110 ÷ 217
    21110 ÷ 131072     		x = 0.161056518554688
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 13198 ÷ 217
    13198 ÷ 131072     		y = 0.100692749023438
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.161056518554688 × 2 - 1) × π
    -0.677886962890625 × 3.1415926535     		Λ = -2.12964470
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.100692749023438 × 2 - 1) × π
    0.798614501953125 × 3.1415926535     		Φ = 2.5089214523145
    Länge (λ) Λ (unverändert) -2.12964470} λ = -2.12964470}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.5089214523145))-π/2
    2×atan(12.291665761049)-π/2
    2×1.48961917172363-π/2
    2.97923834344726-1.57079632675     		φ = 1.40844202
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -2.12964470} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -122.019653°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.40844202 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 80.697783°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 21110 KachelY 13198 -2.12964470 1.40844202 -122.019653 80.697783
    Oben rechts KachelX + 1 21111 KachelY 13198 -2.12959677 1.40844202 -122.016907 80.697783
    Unten links KachelX 21110 KachelY + 1 13199 -2.12964470 1.40843427 -122.019653 80.697339
    Unten rechts KachelX + 1 21111 KachelY + 1 13199 -2.12959677 1.40843427 -122.016907 80.697339
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.40844202-1.40843427) × R
    7.74999999997306e-06 × 6371000     		dl = 49.3752499998283m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.40844202-1.40843427) × R
    7.74999999997306e-06 × 6371000     		dr = 49.3752499998283m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-2.12964470--2.12959677) × cos(1.40844202) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.161641998837365 × 6371000     		do = 49.3593288982657m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-2.12964470--2.12959677) × cos(1.40843427) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.161649646915855 × 6371000     		du = 49.361664331039m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.40844202)-sin(1.40843427))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.161641998837365-0.161649646915855)×R²
    abs(-2.12959677--2.12964470)×7.64807849007454e-06×R²
    4.79300000000293e-05×7.64807849007454e-06×6371000²
    4.79300000000293e-05×7.64807849007454e-06×40589641000000     		ar = 2437.18686048708m²