Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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14 / 2111 / 6217
↖ ↑ ↗
← N 39.757880°
W133.615723°		 ← 1 878.23 m → N 39.757880°
W133.593750°		 →
↑
1 878.49 m
↓
↑
1 878.49 m
↓
N 39.740986°
W133.615723°		 ← 1 878.69 m →
3 528 669 m²		 N 39.740986°
W133.593750°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 2111 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 6217 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.128875732421875 y=0.379486083984375 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.128875732421875 × 214)
    floor (0.128875732421875 × 16384)
    floor (2111.5)     		tx = 2111
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.379486083984375 × 214)
    floor (0.379486083984375 × 16384)
    floor (6217.5)     		ty = 6217
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 2111 / 6217 ti = "14/2111/6217"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/2111/6217.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 2111 ÷ 214
    2111 ÷ 16384     		x = 0.12884521484375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 6217 ÷ 214
    6217 ÷ 16384     		y = 0.37945556640625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.12884521484375 × 2 - 1) × π
    -0.7423095703125 × 3.1415926535     		Λ = -2.33203429
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.37945556640625 × 2 - 1) × π
    0.2410888671875 × 3.1415926535     		Φ = 0.757403013996887
    Länge (λ) Λ (unverändert) -2.33203429} λ = -2.33203429}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.757403013996887))-π/2
    2×atan(2.13273035147045)-π/2
    2×1.13235111812591-π/2
    2.26470223625181-1.57079632675     		φ = 0.69390591
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -2.33203429} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -133.615723°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.69390591 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 39.757880°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 2111 KachelY 6217 -2.33203429 0.69390591 -133.615723 39.757880
    Oben rechts KachelX + 1 2112 KachelY 6217 -2.33165080 0.69390591 -133.593750 39.757880
    Unten links KachelX 2111 KachelY + 1 6218 -2.33203429 0.69361106 -133.615723 39.740986
    Unten rechts KachelX + 1 2112 KachelY + 1 6218 -2.33165080 0.69361106 -133.593750 39.740986
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.69390591-0.69361106) × R
    0.000294850000000069 × 6371000     		dl = 1878.48935000044m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.69390591-0.69361106) × R
    0.000294850000000069 × 6371000     		dr = 1878.48935000044m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-2.33203429--2.33165080) × cos(0.69390591) × R
    0.000383490000000375 × 0.768753881265084 × 6371000     		do = 1878.23085257859m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-2.33203429--2.33165080) × cos(0.69361106) × R
    0.000383490000000375 × 0.768942417611527 × 6371000     		du = 1878.69148736868m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.69390591)-sin(0.69361106))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.768753881265084-0.768942417611527)×R²
    abs(-2.33165080--2.33203429)×0.000188536346443224×R²
    0.000383490000000375×0.000188536346443224×6371000²
    0.000383490000000375×0.000188536346443224×40589641000000     		ar = 3528669.32774848m²