Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 21105 / 13193
↖ ↑ ↗
← N 80.700003°
W122.033386°		 ← 49.36 m → N 80.700003°
W122.030640°		 →
↑
49.38 m
↓
↑
49.38 m
↓
N 80.699559°
W122.033386°		 ← 49.36 m →
2 437 m²		 N 80.699559°
W122.030640°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 21105 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 13193 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.161022186279297 y=0.100658416748047 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.161022186279297 × 217)
    floor (0.161022186279297 × 131072)
    floor (21105.5)     		tx = 21105
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.100658416748047 × 217)
    floor (0.100658416748047 × 131072)
    floor (13193.5)     		ty = 13193
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 21105 / 13193 ti = "17/21105/13193"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/21105/13193.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 21105 ÷ 217
    21105 ÷ 131072     		x = 0.161018371582031
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 13193 ÷ 217
    13193 ÷ 131072     		y = 0.100654602050781
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.161018371582031 × 2 - 1) × π
    -0.677963256835938 × 3.1415926535     		Λ = -2.12988439
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.100654602050781 × 2 - 1) × π
    0.798690795898438 × 3.1415926535     		Φ = 2.5091611368126
    Länge (λ) Λ (unverändert) -2.12988439} λ = -2.12988439}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.5091611368126))-π/2
    2×atan(12.2946122358858)-π/2
    2×1.48963854097388-π/2
    2.97927708194776-1.57079632675     		φ = 1.40848076
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -2.12988439} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -122.033386°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.40848076 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 80.700003°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 21105 KachelY 13193 -2.12988439 1.40848076 -122.033386 80.700003
    Oben rechts KachelX + 1 21106 KachelY 13193 -2.12983645 1.40848076 -122.030640 80.700003
    Unten links KachelX 21105 KachelY + 1 13194 -2.12988439 1.40847301 -122.033386 80.699559
    Unten rechts KachelX + 1 21106 KachelY + 1 13194 -2.12983645 1.40847301 -122.030640 80.699559
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.40848076-1.40847301) × R
    7.74999999997306e-06 × 6371000     		dl = 49.3752499998283m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.40848076-1.40847301) × R
    7.74999999997306e-06 × 6371000     		dr = 49.3752499998283m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-2.12988439--2.12983645) × cos(1.40848076) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.161603768167852 × 6371000     		do = 49.3579504794222m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-2.12988439--2.12983645) × cos(1.40847301) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.161611416294868 × 6371000     		du = 49.3602864142757m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.40848076)-sin(1.40847301))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.161603768167852-0.161611416294868)×R²
    abs(-2.12983645--2.12988439)×7.64812701606332e-06×R²
    4.79399999999686e-05×7.64812701606332e-06×6371000²
    4.79399999999686e-05×7.64812701606332e-06×40589641000000     		ar = 2437.1188130112m²