Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 21104 / 5108
↖ ↑ ↗
← N 76.870796°
E 51.855468°		 ← 277.49 m → N 76.870796°
E 51.866455°		 →
↑
277.52 m
↓
↑
277.52 m
↓
N 76.868300°
E 51.855468°		 ← 277.54 m →
77 017 m²		 N 76.868300°
E 51.866455°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 21104 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 5108 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.644058227539062 y=0.155899047851562 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.644058227539062 × 215)
    floor (0.644058227539062 × 32768)
    floor (21104.5)     		tx = 21104
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.155899047851562 × 215)
    floor (0.155899047851562 × 32768)
    floor (5108.5)     		ty = 5108
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 21104 / 5108 ti = "15/21104/5108"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/21104/5108.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 21104 ÷ 215
    21104 ÷ 32768     		x = 0.64404296875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 5108 ÷ 215
    5108 ÷ 32768     		y = 0.1558837890625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.64404296875 × 2 - 1) × π
    0.2880859375 × 3.1415926535     		Λ = 0.90504866
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.1558837890625 × 2 - 1) × π
    0.688232421875 × 3.1415926535     		Φ = 2.16214592046301
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.90504866} λ = 0.90504866}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.16214592046301))-π/2
    2×atan(8.68976520967573)-π/2
    2×1.45622240974476-π/2
    2.91244481948952-1.57079632675     		φ = 1.34164849
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.90504866} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 51.855468°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.34164849 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 76.870796°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 21104 KachelY 5108 0.90504866 1.34164849 51.855468 76.870796
    Oben rechts KachelX + 1 21105 KachelY 5108 0.90524041 1.34164849 51.866455 76.870796
    Unten links KachelX 21104 KachelY + 1 5109 0.90504866 1.34160493 51.855468 76.868300
    Unten rechts KachelX + 1 21105 KachelY + 1 5109 0.90524041 1.34160493 51.866455 76.868300
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.34164849-1.34160493) × R
    4.35600000001646e-05 × 6371000     		dl = 277.520760001049m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.34164849-1.34160493) × R
    4.35600000001646e-05 × 6371000     		dr = 277.520760001049m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.90504866-0.90524041) × cos(1.34164849) × R
    0.000191750000000046 × 0.227147718183144 × 6371000     		do = 277.492568080534m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.90504866-0.90524041) × cos(1.34160493) × R
    0.000191750000000046 × 0.227190139322971 × 6371000     		du = 277.544391409977m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.34164849)-sin(1.34160493))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.227147718183144-0.227190139322971)×R²
    abs(0.90524041-0.90504866)×4.24211398269425e-05×R²
    0.000191750000000046×4.24211398269425e-05×6371000²
    0.000191750000000046×4.24211398269425e-05×40589641000000     		ar = 77017.1394258083m²