Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 21104 / 12240
↖ ↑ ↗
← N 81.113602°
W122.036133°		 ← 47.17 m → N 81.113602°
W122.033386°		 →
↑
47.15 m
↓
↑
47.15 m
↓
N 81.113178°
W122.036133°		 ← 47.17 m →
2 224 m²		 N 81.113178°
W122.033386°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 21104 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 12240 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.161014556884766 y=0.0933876037597656 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.161014556884766 × 217)
    floor (0.161014556884766 × 131072)
    floor (21104.5)     		tx = 21104
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.0933876037597656 × 217)
    floor (0.0933876037597656 × 131072)
    floor (12240.5)     		ty = 12240
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 21104 / 12240 ti = "17/21104/12240"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/21104/12240.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 21104 ÷ 217
    21104 ÷ 131072     		x = 0.1610107421875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 12240 ÷ 217
    12240 ÷ 131072     		y = 0.0933837890625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.1610107421875 × 2 - 1) × π
    -0.677978515625 × 3.1415926535     		Λ = -2.12993232
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.0933837890625 × 2 - 1) × π
    0.813232421875 × 3.1415926535     		Φ = 2.55484500215051
    Länge (λ) Λ (unverändert) -2.12993232} λ = -2.12993232}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.55484500215051))-π/2
    2×atan(12.8693047883593)-π/2
    2×1.49324787914883-π/2
    2.98649575829767-1.57079632675     		φ = 1.41569943
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -2.12993232} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -122.036133°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.41569943 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 81.113602°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 21104 KachelY 12240 -2.12993232 1.41569943 -122.036133 81.113602
    Oben rechts KachelX + 1 21105 KachelY 12240 -2.12988439 1.41569943 -122.033386 81.113602
    Unten links KachelX 21104 KachelY + 1 12241 -2.12993232 1.41569203 -122.036133 81.113178
    Unten rechts KachelX + 1 21105 KachelY + 1 12241 -2.12988439 1.41569203 -122.033386 81.113178
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.41569943-1.41569203) × R
    7.40000000010177e-06 × 6371000     		dl = 47.1454000006484m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.41569943-1.41569203) × R
    7.40000000010177e-06 × 6371000     		dr = 47.1454000006484m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-2.12993232--2.12988439) × cos(1.41569943) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.15447583371691 × 6371000     		do = 47.1710541697669m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-2.12993232--2.12988439) × cos(1.41569203) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.154483144887278 × 6371000     		du = 47.1732867235921m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.41569943)-sin(1.41569203))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.15447583371691-0.154483144887278)×R²
    abs(-2.12988439--2.12993232)×7.31117036775752e-06×R²
    4.79300000000293e-05×7.31117036775752e-06×6371000²
    4.79300000000293e-05×7.31117036775752e-06×40589641000000     		ar = 2223.950844627m²