Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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14 / 2110 / 6213
↖ ↑ ↗
← N 39.825413°
W133.637695°		 ← 1 876.44 m → N 39.825413°
W133.615723°		 →
↑
1 876.64 m
↓
↑
1 876.64 m
↓
N 39.808536°
W133.637695°		 ← 1 876.90 m →
3 521 832 m²		 N 39.808536°
W133.615723°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 2110 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 6213 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.128814697265625 y=0.379241943359375 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.128814697265625 × 214)
    floor (0.128814697265625 × 16384)
    floor (2110.5)     		tx = 2110
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.379241943359375 × 214)
    floor (0.379241943359375 × 16384)
    floor (6213.5)     		ty = 6213
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 2110 / 6213 ti = "14/2110/6213"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/2110/6213.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 2110 ÷ 214
    2110 ÷ 16384     		x = 0.1287841796875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 6213 ÷ 214
    6213 ÷ 16384     		y = 0.37921142578125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.1287841796875 × 2 - 1) × π
    -0.742431640625 × 3.1415926535     		Λ = -2.33241779
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.37921142578125 × 2 - 1) × π
    0.2415771484375 × 3.1415926535     		Φ = 0.758936994784729
    Länge (λ) Λ (unverändert) -2.33241779} λ = -2.33241779}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.758936994784729))-π/2
    2×atan(2.13600442939956)-π/2
    2×1.13294045569995-π/2
    2.26588091139989-1.57079632675     		φ = 0.69508458
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -2.33241779} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -133.637695°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.69508458 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 39.825413°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 2110 KachelY 6213 -2.33241779 0.69508458 -133.637695 39.825413
    Oben rechts KachelX + 1 2111 KachelY 6213 -2.33203429 0.69508458 -133.615723 39.825413
    Unten links KachelX 2110 KachelY + 1 6214 -2.33241779 0.69479002 -133.637695 39.808536
    Unten rechts KachelX + 1 2111 KachelY + 1 6214 -2.33203429 0.69479002 -133.615723 39.808536
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.69508458-0.69479002) × R
    0.000294559999999944 × 6371000     		dl = 1876.64175999964m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.69508458-0.69479002) × R
    0.000294559999999944 × 6371000     		dr = 1876.64175999964m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-2.33241779--2.33203429) × cos(0.69508458) × R
    0.00038349999999987 × 0.767999535244415 × 6371000     		do = 1876.43675247204m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-2.33241779--2.33203429) × cos(0.69479002) × R
    0.00038349999999987 × 0.768188152993315 × 6371000     		du = 1876.89759816264m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.69508458)-sin(0.69479002))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.767999535244415-0.768188152993315)×R²
    abs(-2.33203429--2.33241779)×0.000188617748899444×R²
    0.00038349999999987×0.000188617748899444×6371000²
    0.00038349999999987×0.000188617748899444×40589641000000     		ar = 3521832.01628687m²