Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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10 / 211 / 67
↖ ↑ ↗
← N 82.540604°
W105.820313°		 ← 5 075.06 m → N 82.540604°
W105.468750°		 →
↑
5 090.49 m
↓
↑
5 090.49 m
↓
N 82.494824°
W105.820313°		 ← 5 106.02 m →
25 913 358 m²		 N 82.494824°
W105.468750°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 10 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 211 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 67 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.20654296875 y=0.06591796875 und der Vergrößerungsstufe zoom=10 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.20654296875 × 210)
    floor (0.20654296875 × 1024)
    floor (211.5)     		tx = 211
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.06591796875 × 210)
    floor (0.06591796875 × 1024)
    floor (67.5)     		ty = 67
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 10 / 211 / 67 ti = "10/211/67"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/10/211/67.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 211 ÷ 210
    211 ÷ 1024     		x = 0.2060546875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 67 ÷ 210
    67 ÷ 1024     		y = 0.0654296875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.2060546875 × 2 - 1) × π
    -0.587890625 × 3.1415926535     		Λ = -1.84691287
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.0654296875 × 2 - 1) × π
    0.869140625 × 3.1415926535     		Φ = 2.7304858023584
    Länge (λ) Λ (unverändert) -1.84691287} λ = -1.84691287}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.7304858023584))-π/2
    2×atan(15.3403375821864)-π/2
    2×1.50570081502703-π/2
    3.01140163005407-1.57079632675     		φ = 1.44060530
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -1.84691287} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -105.820313°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.44060530 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 82.540604°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 211 KachelY 67 -1.84691287 1.44060530 -105.820313 82.540604
    Oben rechts KachelX + 1 212 KachelY 67 -1.84077695 1.44060530 -105.468750 82.540604
    Unten links KachelX 211 KachelY + 1 68 -1.84691287 1.43980629 -105.820313 82.494824
    Unten rechts KachelX + 1 212 KachelY + 1 68 -1.84077695 1.43980629 -105.468750 82.494824
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.44060530-1.43980629) × R
    0.000799010000000155 × 6371000     		dl = 5090.49271000099m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.44060530-1.43980629) × R
    0.000799010000000155 × 6371000     		dr = 5090.49271000099m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-1.84691287--1.84077695) × cos(1.44060530) × R
    0.00613591999999996 × 0.129823555143786 × 6371000     		do = 5075.0554487524m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-1.84691287--1.84077695) × cos(1.43980629) × R
    0.00613591999999996 × 0.130615761686591 × 6371000     		du = 5106.02434439811m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.44060530)-sin(1.43980629))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.129823555143786-0.130615761686591)×R²
    abs(-1.84077695--1.84691287)×0.000792206542805818×R²
    0.00613591999999996×0.000792206542805818×6371000²
    0.00613591999999996×0.000792206542805818×40589641000000     		ar = 25913357.6120914m²