Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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11 / 211 / 251
↖ ↑ ↗
← N 79.335219°
W142.910156°		 ← 3 617.23 m → N 79.335219°
W142.734375°		 →
↑
3 622.68 m
↓
↑
3 622.68 m
↓
N 79.302640°
W142.910156°		 ← 3 628.15 m →
13 123 836 m²		 N 79.302640°
W142.734375°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 11 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 211 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 251 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.103271484375 y=0.122802734375 und der Vergrößerungsstufe zoom=11 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.103271484375 × 211)
    floor (0.103271484375 × 2048)
    floor (211.5)     		tx = 211
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.122802734375 × 211)
    floor (0.122802734375 × 2048)
    floor (251.5)     		ty = 251
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 11 / 211 / 251 ti = "11/211/251"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/11/211/251.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 211 ÷ 211
    211 ÷ 2048     		x = 0.10302734375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 251 ÷ 211
    251 ÷ 2048     		y = 0.12255859375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.10302734375 × 2 - 1) × π
    -0.7939453125 × 3.1415926535     		Λ = -2.49425276
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.12255859375 × 2 - 1) × π
    0.7548828125 × 3.1415926535     		Φ = 2.37153429800342
    Länge (λ) Λ (unverändert) -2.49425276} λ = -2.49425276}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.37153429800342))-π/2
    2×atan(10.7138178693834)-π/2
    2×1.47772855764175-π/2
    2.9554571152835-1.57079632675     		φ = 1.38466079
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -2.49425276} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -142.910156°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.38466079 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 79.335219°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 211 KachelY 251 -2.49425276 1.38466079 -142.910156 79.335219
    Oben rechts KachelX + 1 212 KachelY 251 -2.49118480 1.38466079 -142.734375 79.335219
    Unten links KachelX 211 KachelY + 1 252 -2.49425276 1.38409217 -142.910156 79.302640
    Unten rechts KachelX + 1 212 KachelY + 1 252 -2.49118480 1.38409217 -142.734375 79.302640
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.38466079-1.38409217) × R
    0.000568620000000131 × 6371000     		dl = 3622.67802000083m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.38466079-1.38409217) × R
    0.000568620000000131 × 6371000     		dr = 3622.67802000083m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-2.49425276--2.49118480) × cos(1.38466079) × R
    0.00306796000000009 × 0.185062574973451 × 6371000     		do = 3617.22812335168m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-2.49425276--2.49118480) × cos(1.38409217) × R
    0.00306796000000009 × 0.18562134310359 × 6371000     		du = 3628.14979022604m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.38466079)-sin(1.38409217))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.185062574973451-0.18562134310359)×R²
    abs(-2.49118480--2.49425276)×0.00055876813013897×R²
    0.00306796000000009×0.00055876813013897×6371000²
    0.00306796000000009×0.00055876813013897×40589641000000     		ar = 13123836.0106613m²