Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
15 / 21098 / 5109
↖ ↑ ↗
← N 76.868300°
E 51.789551°		 ← 277.54 m → N 76.868300°
E 51.800537°		 →
↑
277.52 m
↓
↑
277.52 m
↓
N 76.865804°
E 51.789551°		 ← 277.60 m →
77 032 m²		 N 76.865804°
E 51.800537°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 21098 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 5109 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.643875122070312 y=0.155929565429688 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.643875122070312 × 215)
    floor (0.643875122070312 × 32768)
    floor (21098.5)     		tx = 21098
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.155929565429688 × 215)
    floor (0.155929565429688 × 32768)
    floor (5109.5)     		ty = 5109
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 21098 / 5109 ti = "15/21098/5109"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/21098/5109.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 21098 ÷ 215
    21098 ÷ 32768     		x = 0.64385986328125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 5109 ÷ 215
    5109 ÷ 32768     		y = 0.155914306640625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.64385986328125 × 2 - 1) × π
    0.2877197265625 × 3.1415926535     		Λ = 0.90389818
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.155914306640625 × 2 - 1) × π
    0.68817138671875 × 3.1415926535     		Φ = 2.16195417286453
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.90389818} λ = 0.90389818}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.16195417286453))-π/2
    2×atan(8.68809912780412)-π/2
    2×1.45620063019685-π/2
    2.91240126039369-1.57079632675     		φ = 1.34160493
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.90389818} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 51.789551°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.34160493 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 76.868300°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 21098 KachelY 5109 0.90389818 1.34160493 51.789551 76.868300
    Oben rechts KachelX + 1 21099 KachelY 5109 0.90408993 1.34160493 51.800537 76.868300
    Unten links KachelX 21098 KachelY + 1 5110 0.90389818 1.34156137 51.789551 76.865804
    Unten rechts KachelX + 1 21099 KachelY + 1 5110 0.90408993 1.34156137 51.800537 76.865804
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.34160493-1.34156137) × R
    4.35599999999425e-05 × 6371000     		dl = 277.520759999634m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.34160493-1.34156137) × R
    4.35599999999425e-05 × 6371000     		dr = 277.520759999634m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.90389818-0.90408993) × cos(1.34160493) × R
    0.000191750000000046 × 0.227190139322971 × 6371000     		do = 277.544391409977m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.90389818-0.90408993) × cos(1.34156137) × R
    0.000191750000000046 × 0.22723256003171 × 6371000     		du = 277.596214212785m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.34160493)-sin(1.34156137))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.227190139322971-0.22723256003171)×R²
    abs(0.90408993-0.90389818)×4.24207087394157e-05×R²
    0.000191750000000046×4.24207087394157e-05×6371000²
    0.000191750000000046×4.24207087394157e-05×40589641000000     		ar = 77031.5214013487m²