Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 21096 / 5110
↖ ↑ ↗
← N 76.865804°
E 51.767578°		 ← 277.60 m → N 76.865804°
E 51.778564°		 →
↑
277.65 m
↓
↑
277.65 m
↓
N 76.863308°
E 51.767578°		 ← 277.65 m →
77 081 m²		 N 76.863308°
E 51.778564°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 21096 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 5110 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.643814086914062 y=0.155960083007812 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.643814086914062 × 215)
    floor (0.643814086914062 × 32768)
    floor (21096.5)     		tx = 21096
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.155960083007812 × 215)
    floor (0.155960083007812 × 32768)
    floor (5110.5)     		ty = 5110
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 21096 / 5110 ti = "15/21096/5110"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/21096/5110.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 21096 ÷ 215
    21096 ÷ 32768     		x = 0.643798828125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 5110 ÷ 215
    5110 ÷ 32768     		y = 0.15594482421875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.643798828125 × 2 - 1) × π
    0.28759765625 × 3.1415926535     		Λ = 0.90351468
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.15594482421875 × 2 - 1) × π
    0.6881103515625 × 3.1415926535     		Φ = 2.16176242526605
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.90351468} λ = 0.90351468}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.16176242526605))-π/2
    2×atan(8.68643336536908)-π/2
    2×1.45617884658158-π/2
    2.91235769316316-1.57079632675     		φ = 1.34156137
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.90351468} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 51.767578°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.34156137 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 76.865804°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 21096 KachelY 5110 0.90351468 1.34156137 51.767578 76.865804
    Oben rechts KachelX + 1 21097 KachelY 5110 0.90370643 1.34156137 51.778564 76.865804
    Unten links KachelX 21096 KachelY + 1 5111 0.90351468 1.34151779 51.767578 76.863308
    Unten rechts KachelX + 1 21097 KachelY + 1 5111 0.90370643 1.34151779 51.778564 76.863308
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.34156137-1.34151779) × R
    4.3580000000043e-05 × 6371000     		dl = 277.648180000274m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.34156137-1.34151779) × R
    4.3580000000043e-05 × 6371000     		dr = 277.648180000274m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.90351468-0.90370643) × cos(1.34156137) × R
    0.000191749999999935 × 0.22723256003171 × 6371000     		do = 277.596214212625m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.90351468-0.90370643) × cos(1.34151779) × R
    0.000191749999999935 × 0.227274999785895 × 6371000     		du = 277.648060282096m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.34156137)-sin(1.34151779))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.22723256003171-0.227274999785895)×R²
    abs(0.90370643-0.90351468)×4.24397541841925e-05×R²
    0.000191749999999935×4.24397541841925e-05×6371000²
    0.000191749999999935×4.24397541841925e-05×40589641000000     		ar = 77081.2811465036m²