Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
15 / 21095 / 5104
↖ ↑ ↗
← N 76.880775°
E 51.756592°		 ← 277.27 m → N 76.880775°
E 51.767578°		 →
↑
277.33 m
↓
↑
277.33 m
↓
N 76.878281°
E 51.756592°		 ← 277.32 m →
76 903 m²		 N 76.878281°
E 51.767578°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 21095 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 5104 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.643783569335938 y=0.155776977539062 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.643783569335938 × 215)
    floor (0.643783569335938 × 32768)
    floor (21095.5)     		tx = 21095
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.155776977539062 × 215)
    floor (0.155776977539062 × 32768)
    floor (5104.5)     		ty = 5104
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 21095 / 5104 ti = "15/21095/5104"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/21095/5104.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 21095 ÷ 215
    21095 ÷ 32768     		x = 0.643768310546875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 5104 ÷ 215
    5104 ÷ 32768     		y = 0.15576171875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.643768310546875 × 2 - 1) × π
    0.28753662109375 × 3.1415926535     		Λ = 0.90332294
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.15576171875 × 2 - 1) × π
    0.6884765625 × 3.1415926535     		Φ = 2.16291291085693
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.90332294} λ = 0.90332294}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.16291291085693))-π/2
    2×atan(8.6964327327532)-π/2
    2×1.45630948727728-π/2
    2.91261897455455-1.57079632675     		φ = 1.34182265
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.90332294} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 51.756592°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.34182265 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 76.880775°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 21095 KachelY 5104 0.90332294 1.34182265 51.756592 76.880775
    Oben rechts KachelX + 1 21096 KachelY 5104 0.90351468 1.34182265 51.767578 76.880775
    Unten links KachelX 21095 KachelY + 1 5105 0.90332294 1.34177912 51.756592 76.878281
    Unten rechts KachelX + 1 21096 KachelY + 1 5105 0.90351468 1.34177912 51.767578 76.878281
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.34182265-1.34177912) × R
    4.35299999999028e-05 × 6371000     		dl = 277.329629999381m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.34182265-1.34177912) × R
    4.35299999999028e-05 × 6371000     		dr = 277.329629999381m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.90332294-0.90351468) × cos(1.34182265) × R
    0.000191739999999996 × 0.226978107226564 × 6371000     		do = 277.270903903461m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.90332294-0.90351468) × cos(1.34177912) × R
    0.000191739999999996 × 0.227020500872444 × 6371000     		du = 277.322690944321m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.34182265)-sin(1.34177912))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.226978107226564-0.227020500872444)×R²
    abs(0.90351468-0.90332294)×4.23936458806007e-05×R²
    0.000191739999999996×4.23936458806007e-05×6371000²
    0.000191739999999996×4.23936458806007e-05×40589641000000     		ar = 76902.6182416424m²