Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 21092 / 5103
↖ ↑ ↗
← N 76.883268°
E 51.723633°		 ← 277.23 m → N 76.883268°
E 51.734619°		 →
↑
277.27 m
↓
↑
277.27 m
↓
N 76.880775°
E 51.723633°		 ← 277.29 m →
76 875 m²		 N 76.880775°
E 51.734619°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 21092 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 5103 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.643692016601562 y=0.155746459960938 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.643692016601562 × 215)
    floor (0.643692016601562 × 32768)
    floor (21092.5)     		tx = 21092
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.155746459960938 × 215)
    floor (0.155746459960938 × 32768)
    floor (5103.5)     		ty = 5103
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 21092 / 5103 ti = "15/21092/5103"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/21092/5103.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 21092 ÷ 215
    21092 ÷ 32768     		x = 0.6436767578125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 5103 ÷ 215
    5103 ÷ 32768     		y = 0.155731201171875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.6436767578125 × 2 - 1) × π
    0.287353515625 × 3.1415926535     		Λ = 0.90274769
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.155731201171875 × 2 - 1) × π
    0.68853759765625 × 3.1415926535     		Φ = 2.16310465845541
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.90274769} λ = 0.90274769}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.16310465845541))-π/2
    2×atan(8.69810041272675)-π/2
    2×1.45633124649921-π/2
    2.91266249299842-1.57079632675     		φ = 1.34186617
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.90274769} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 51.723633°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.34186617 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 76.883268°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 21092 KachelY 5103 0.90274769 1.34186617 51.723633 76.883268
    Oben rechts KachelX + 1 21093 KachelY 5103 0.90293944 1.34186617 51.734619 76.883268
    Unten links KachelX 21092 KachelY + 1 5104 0.90274769 1.34182265 51.723633 76.880775
    Unten rechts KachelX + 1 21093 KachelY + 1 5104 0.90293944 1.34182265 51.734619 76.880775
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.34186617-1.34182265) × R
    4.35200000001856e-05 × 6371000     		dl = 277.265920001183m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.34186617-1.34182265) × R
    4.35200000001856e-05 × 6371000     		dr = 277.265920001183m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.90274769-0.90293944) × cos(1.34186617) × R
    0.000191750000000046 × 0.226935722889688 × 6371000     		do = 277.233586309233m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.90274769-0.90293944) × cos(1.34182265) × R
    0.000191750000000046 × 0.226978107226564 × 6371000     		du = 277.285364678745m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.34186617)-sin(1.34182265))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.226935722889688-0.226978107226564)×R²
    abs(0.90293944-0.90274769)×4.23843368753951e-05×R²
    0.000191750000000046×4.23843368753951e-05×6371000²
    0.000191750000000046×4.23843368753951e-05×40589641000000     		ar = 76874.6035640769m²