Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
15 / 21090 / 5082
↖ ↑ ↗
← N 76.935523°
E 51.701660°		 ← 276.15 m → N 76.935523°
E 51.712647°		 →
↑
276.18 m
↓
↑
276.18 m
↓
N 76.933039°
E 51.701660°		 ← 276.20 m →
76 275 m²		 N 76.933039°
E 51.712647°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 21090 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 5082 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.643630981445312 y=0.155105590820312 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.643630981445312 × 215)
    floor (0.643630981445312 × 32768)
    floor (21090.5)     		tx = 21090
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.155105590820312 × 215)
    floor (0.155105590820312 × 32768)
    floor (5082.5)     		ty = 5082
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 21090 / 5082 ti = "15/21090/5082"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/21090/5082.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 21090 ÷ 215
    21090 ÷ 32768     		x = 0.64361572265625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 5082 ÷ 215
    5082 ÷ 32768     		y = 0.15509033203125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.64361572265625 × 2 - 1) × π
    0.2872314453125 × 3.1415926535     		Λ = 0.90236420
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.15509033203125 × 2 - 1) × π
    0.6898193359375 × 3.1415926535     		Φ = 2.1671313580235
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.90236420} λ = 0.90236420}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.1671313580235))-π/2
    2×atan(8.73319566149294)-π/2
    2×1.45678725270099-π/2
    2.91357450540197-1.57079632675     		φ = 1.34277818
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.90236420} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 51.701660°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.34277818 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 76.935523°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 21090 KachelY 5082 0.90236420 1.34277818 51.701660 76.935523
    Oben rechts KachelX + 1 21091 KachelY 5082 0.90255595 1.34277818 51.712647 76.935523
    Unten links KachelX 21090 KachelY + 1 5083 0.90236420 1.34273483 51.701660 76.933039
    Unten rechts KachelX + 1 21091 KachelY + 1 5083 0.90255595 1.34273483 51.712647 76.933039
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.34277818-1.34273483) × R
    4.33500000001086e-05 × 6371000     		dl = 276.182850000692m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.34277818-1.34273483) × R
    4.33500000001086e-05 × 6371000     		dr = 276.182850000692m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.90236420-0.90255595) × cos(1.34277818) × R
    0.000191750000000046 × 0.226047413214434 × 6371000     		do = 276.148392343787m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.90236420-0.90255595) × cos(1.34273483) × R
    0.000191750000000046 × 0.226089640943653 × 6371000     		du = 276.199979395239m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.34277818)-sin(1.34273483))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.226047413214434-0.226089640943653)×R²
    abs(0.90255595-0.90236420)×4.22277292186357e-05×R²
    0.000191750000000046×4.22277292186357e-05×6371000²
    0.000191750000000046×4.22277292186357e-05×40589641000000     		ar = 76274.5737619954m²