Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
14 / 2109 / 6256
↖ ↑ ↗
← N 39.095963°
W133.659668°		 ← 1 896.16 m → N 39.095963°
W133.637695°		 →
↑
1 896.46 m
↓
↑
1 896.46 m
↓
N 39.078908°
W133.659668°		 ← 1 896.62 m →
3 596 412 m²		 N 39.078908°
W133.637695°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 2109 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 6256 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.128753662109375 y=0.381866455078125 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.128753662109375 × 214)
    floor (0.128753662109375 × 16384)
    floor (2109.5)     		tx = 2109
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.381866455078125 × 214)
    floor (0.381866455078125 × 16384)
    floor (6256.5)     		ty = 6256
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 2109 / 6256 ti = "14/2109/6256"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/2109/6256.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 2109 ÷ 214
    2109 ÷ 16384     		x = 0.12872314453125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 6256 ÷ 214
    6256 ÷ 16384     		y = 0.3818359375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.12872314453125 × 2 - 1) × π
    -0.7425537109375 × 3.1415926535     		Λ = -2.33280128
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.3818359375 × 2 - 1) × π
    0.236328125 × 3.1415926535     		Φ = 0.74244670131543
    Länge (λ) Λ (unverändert) -2.33280128} λ = -2.33280128}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.74244670131543))-π/2
    2×atan(2.10106992129331)-π/2
    2×1.12657480212731-π/2
    2.25314960425463-1.57079632675     		φ = 0.68235328
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -2.33280128} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -133.659668°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.68235328 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 39.095963°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 2109 KachelY 6256 -2.33280128 0.68235328 -133.659668 39.095963
    Oben rechts KachelX + 1 2110 KachelY 6256 -2.33241779 0.68235328 -133.637695 39.095963
    Unten links KachelX 2109 KachelY + 1 6257 -2.33280128 0.68205561 -133.659668 39.078908
    Unten rechts KachelX + 1 2110 KachelY + 1 6257 -2.33241779 0.68205561 -133.637695 39.078908
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.68235328-0.68205561) × R
    0.000297669999999917 × 6371000     		dl = 1896.45556999947m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.68235328-0.68205561) × R
    0.000297669999999917 × 6371000     		dr = 1896.45556999947m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-2.33280128--2.33241779) × cos(0.68235328) × R
    0.000383489999999931 × 0.776090840999745 × 6371000     		do = 1896.15662111377m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-2.33280128--2.33241779) × cos(0.68205561) × R
    0.000383489999999931 × 0.776278523604305 × 6371000     		du = 1896.61517002906m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.68235328)-sin(0.68205561))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.776090840999745-0.776278523604305)×R²
    abs(-2.33241779--2.33280128)×0.000187682604559702×R²
    0.000383489999999931×0.000187682604559702×6371000²
    0.000383489999999931×0.000187682604559702×40589641000000     		ar = 3596411.62107987m²