Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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14 / 2109 / 6243
↖ ↑ ↗
← N 39.317300°
W133.659668°		 ← 1 890.19 m → N 39.317300°
W133.637695°		 →
↑
1 890.40 m
↓
↑
1 890.40 m
↓
N 39.300299°
W133.659668°		 ← 1 890.65 m →
3 573 656 m²		 N 39.300299°
W133.637695°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 2109 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 6243 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.128753662109375 y=0.381072998046875 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.128753662109375 × 214)
    floor (0.128753662109375 × 16384)
    floor (2109.5)     		tx = 2109
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.381072998046875 × 214)
    floor (0.381072998046875 × 16384)
    floor (6243.5)     		ty = 6243
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 2109 / 6243 ti = "14/2109/6243"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/2109/6243.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 2109 ÷ 214
    2109 ÷ 16384     		x = 0.12872314453125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 6243 ÷ 214
    6243 ÷ 16384     		y = 0.38104248046875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.12872314453125 × 2 - 1) × π
    -0.7425537109375 × 3.1415926535     		Λ = -2.33280128
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.38104248046875 × 2 - 1) × π
    0.2379150390625 × 3.1415926535     		Φ = 0.747432138875916
    Länge (λ) Λ (unverändert) -2.33280128} λ = -2.33280128}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.747432138875916))-π/2
    2×atan(2.11157082825449)-π/2
    2×1.12850633564377-π/2
    2.25701267128754-1.57079632675     		φ = 0.68621634
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -2.33280128} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -133.659668°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.68621634 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 39.317300°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 2109 KachelY 6243 -2.33280128 0.68621634 -133.659668 39.317300
    Oben rechts KachelX + 1 2110 KachelY 6243 -2.33241779 0.68621634 -133.637695 39.317300
    Unten links KachelX 2109 KachelY + 1 6244 -2.33280128 0.68591962 -133.659668 39.300299
    Unten rechts KachelX + 1 2110 KachelY + 1 6244 -2.33241779 0.68591962 -133.637695 39.300299
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.68621634-0.68591962) × R
    0.000296720000000028 × 6371000     		dl = 1890.40312000018m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.68621634-0.68591962) × R
    0.000296720000000028 × 6371000     		dr = 1890.40312000018m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-2.33280128--2.33241779) × cos(0.68621634) × R
    0.000383489999999931 × 0.773648928921031 × 6371000     		do = 1890.19050540718m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-2.33280128--2.33241779) × cos(0.68591962) × R
    0.000383489999999931 × 0.773836900955659 × 6371000     		du = 1890.64976146229m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.68621634)-sin(0.68591962))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.773648928921031-0.773836900955659)×R²
    abs(-2.33241779--2.33280128)×0.000187972034628281×R²
    0.000383489999999931×0.000187972034628281×6371000²
    0.000383489999999931×0.000187972034628281×40589641000000     		ar = 3573656.14457547m²