Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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14 / 2109 / 6215
↖ ↑ ↗
← N 39.791655°
W133.659668°		 ← 1 877.31 m → N 39.791655°
W133.637695°		 →
↑
1 877.53 m
↓
↑
1 877.53 m
↓
N 39.774770°
W133.659668°		 ← 1 877.77 m →
3 525 144 m²		 N 39.774770°
W133.637695°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 2109 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 6215 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.128753662109375 y=0.379364013671875 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.128753662109375 × 214)
    floor (0.128753662109375 × 16384)
    floor (2109.5)     		tx = 2109
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.379364013671875 × 214)
    floor (0.379364013671875 × 16384)
    floor (6215.5)     		ty = 6215
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 2109 / 6215 ti = "14/2109/6215"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/2109/6215.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 2109 ÷ 214
    2109 ÷ 16384     		x = 0.12872314453125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 6215 ÷ 214
    6215 ÷ 16384     		y = 0.37933349609375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.12872314453125 × 2 - 1) × π
    -0.7425537109375 × 3.1415926535     		Λ = -2.33280128
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.37933349609375 × 2 - 1) × π
    0.2413330078125 × 3.1415926535     		Φ = 0.758170004390808
    Länge (λ) Λ (unverändert) -2.33280128} λ = -2.33280128}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.758170004390808))-π/2
    2×atan(2.13436676263845)-π/2
    2×1.13264585923527-π/2
    2.26529171847054-1.57079632675     		φ = 0.69449539
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -2.33280128} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -133.659668°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.69449539 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 39.791655°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 2109 KachelY 6215 -2.33280128 0.69449539 -133.659668 39.791655
    Oben rechts KachelX + 1 2110 KachelY 6215 -2.33241779 0.69449539 -133.637695 39.791655
    Unten links KachelX 2109 KachelY + 1 6216 -2.33280128 0.69420069 -133.659668 39.774770
    Unten rechts KachelX + 1 2110 KachelY + 1 6216 -2.33241779 0.69420069 -133.637695 39.774770
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.69449539-0.69420069) × R
    0.000294700000000092 × 6371000     		dl = 1877.53370000059m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.69449539-0.69420069) × R
    0.000294700000000092 × 6371000     		dr = 1877.53370000059m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-2.33280128--2.33241779) × cos(0.69449539) × R
    0.000383489999999931 × 0.768376748889761 × 6371000     		do = 1877.30943717924m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-2.33280128--2.33241779) × cos(0.69420069) × R
    0.000383489999999931 × 0.768565322869847 × 6371000     		du = 1877.7701639164m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.69449539)-sin(0.69420069))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.768376748889761-0.768565322869847)×R²
    abs(-2.33241779--2.33280128)×0.000188573980085871×R²
    0.000383489999999931×0.000188573980085871×6371000²
    0.000383489999999931×0.000188573980085871×40589641000000     		ar = 3525144.27413384m²