Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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13 / 2109 / 1342
↖ ↑ ↗
← N 76.205967°
W 87.319336°		 ← 1 165.10 m → N 76.205967°
W 87.275390°		 →
↑
1 165.51 m
↓
↑
1 165.51 m
↓
N 76.195485°
W 87.319336°		 ← 1 165.97 m →
1 358 440 m²		 N 76.195485°
W 87.275390°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 13 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 2109 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 1342 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.25750732421875 y=0.16387939453125 und der Vergrößerungsstufe zoom=13 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.25750732421875 × 213)
    floor (0.25750732421875 × 8192)
    floor (2109.5)     		tx = 2109
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.16387939453125 × 213)
    floor (0.16387939453125 × 8192)
    floor (1342.5)     		ty = 1342
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 13 / 2109 / 1342 ti = "13/2109/1342"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/13/2109/1342.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 2109 ÷ 213
    2109 ÷ 8192     		x = 0.2574462890625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 1342 ÷ 213
    1342 ÷ 8192     		y = 0.163818359375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.2574462890625 × 2 - 1) × π
    -0.485107421875 × 3.1415926535     		Λ = -1.52400991
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.163818359375 × 2 - 1) × π
    0.67236328125 × 3.1415926535     		Φ = 2.11229154485815
    Länge (λ) Λ (unverändert) -1.52400991} λ = -1.52400991}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.11229154485815))-π/2
    2×atan(8.26716417257393)-π/2
    2×1.4504206806748-π/2
    2.90084136134961-1.57079632675     		φ = 1.33004503
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -1.52400991} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -87.319336°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.33004503 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 76.205967°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 2109 KachelY 1342 -1.52400991 1.33004503 -87.319336 76.205967
    Oben rechts KachelX + 1 2110 KachelY 1342 -1.52324292 1.33004503 -87.275390 76.205967
    Unten links KachelX 2109 KachelY + 1 1343 -1.52400991 1.32986209 -87.319336 76.195485
    Unten rechts KachelX + 1 2110 KachelY + 1 1343 -1.52324292 1.32986209 -87.275390 76.195485
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.33004503-1.32986209) × R
    0.000182939999999965 × 6371000     		dl = 1165.51073999978m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.33004503-1.32986209) × R
    0.000182939999999965 × 6371000     		dr = 1165.51073999978m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-1.52400991--1.52324292) × cos(1.33004503) × R
    0.000766990000000023 × 0.238432322380501 × 6371000     		do = 1165.09794343147m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-1.52400991--1.52324292) × cos(1.32986209) × R
    0.000766990000000023 × 0.23860998223829 × 6371000     		du = 1165.96607713446m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.33004503)-sin(1.32986209))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.238432322380501-0.23860998223829)×R²
    abs(-1.52324292--1.52400991)×0.000177659857788504×R²
    0.000766990000000023×0.000177659857788504×6371000²
    0.000766990000000023×0.000177659857788504×40589641000000     		ar = 1358440.07958655m²