Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
14 / 2108 / 1996
↖ ↑ ↗
← N 79.383905°
W133.681641°		 ← 450.12 m → N 79.383905°
W133.659668°		 →
↑
450.17 m
↓
↑
450.17 m
↓
N 79.379856°
W133.681641°		 ← 450.29 m →
202 670 m²		 N 79.379856°
W133.659668°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 2108 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 1996 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.128692626953125 y=0.121856689453125 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.128692626953125 × 214)
    floor (0.128692626953125 × 16384)
    floor (2108.5)     		tx = 2108
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.121856689453125 × 214)
    floor (0.121856689453125 × 16384)
    floor (1996.5)     		ty = 1996
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 2108 / 1996 ti = "14/2108/1996"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/2108/1996.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 2108 ÷ 214
    2108 ÷ 16384     		x = 0.128662109375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 1996 ÷ 214
    1996 ÷ 16384     		y = 0.121826171875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.128662109375 × 2 - 1) × π
    -0.74267578125 × 3.1415926535     		Λ = -2.33318478
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.121826171875 × 2 - 1) × π
    0.75634765625 × 3.1415926535     		Φ = 2.37613624036694
    Länge (λ) Λ (unverändert) -2.33318478} λ = -2.33318478}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.37613624036694))-π/2
    2×atan(10.7632358638789)-π/2
    2×1.47815341981223-π/2
    2.95630683962446-1.57079632675     		φ = 1.38551051
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -2.33318478} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -133.681641°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.38551051 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 79.383905°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 2108 KachelY 1996 -2.33318478 1.38551051 -133.681641 79.383905
    Oben rechts KachelX + 1 2109 KachelY 1996 -2.33280128 1.38551051 -133.659668 79.383905
    Unten links KachelX 2108 KachelY + 1 1997 -2.33318478 1.38543985 -133.681641 79.379856
    Unten rechts KachelX + 1 2109 KachelY + 1 1997 -2.33280128 1.38543985 -133.659668 79.379856
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.38551051-1.38543985) × R
    7.06600000000002e-05 × 6371000     		dl = 450.174860000001m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.38551051-1.38543985) × R
    7.06600000000002e-05 × 6371000     		dr = 450.174860000001m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-2.33318478--2.33280128) × cos(1.38551051) × R
    0.00038349999999987 × 0.184227465699549 × 6371000     		do = 450.119006053043m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-2.33318478--2.33280128) × cos(1.38543985) × R
    0.00038349999999987 × 0.184296915797265 × 6371000     		du = 450.288691983615m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.38551051)-sin(1.38543985))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.184227465699549-0.184296915797265)×R²
    abs(-2.33280128--2.33318478)×6.94500977160561e-05×R²
    0.00038349999999987×6.94500977160561e-05×6371000²
    0.00038349999999987×6.94500977160561e-05×40589641000000     		ar = 202670.454787342m²