Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
14 / 2107 / 6205
↖ ↑ ↗
← N 39.960280°
W133.703613°		 ← 1 872.70 m → N 39.960280°
W133.681641°		 →
↑
1 872.95 m
↓
↑
1 872.95 m
↓
N 39.943436°
W133.703613°		 ← 1 873.16 m →
3 507 898 m²		 N 39.943436°
W133.681641°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 2107 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 6205 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.128631591796875 y=0.378753662109375 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.128631591796875 × 214)
    floor (0.128631591796875 × 16384)
    floor (2107.5)     		tx = 2107
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.378753662109375 × 214)
    floor (0.378753662109375 × 16384)
    floor (6205.5)     		ty = 6205
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 2107 / 6205 ti = "14/2107/6205"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/2107/6205.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 2107 ÷ 214
    2107 ÷ 16384     		x = 0.12860107421875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 6205 ÷ 214
    6205 ÷ 16384     		y = 0.37872314453125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.12860107421875 × 2 - 1) × π
    -0.7427978515625 × 3.1415926535     		Λ = -2.33356827
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.37872314453125 × 2 - 1) × π
    0.2425537109375 × 3.1415926535     		Φ = 0.762004956360413
    Länge (λ) Λ (unverändert) -2.33356827} λ = -2.33356827}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.762004956360413))-π/2
    2×atan(2.14256767165399)-π/2
    2×1.13411739449033-π/2
    2.26823478898067-1.57079632675     		φ = 0.69743846
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -2.33356827} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -133.703613°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.69743846 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 39.960280°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 2107 KachelY 6205 -2.33356827 0.69743846 -133.703613 39.960280
    Oben rechts KachelX + 1 2108 KachelY 6205 -2.33318478 0.69743846 -133.681641 39.960280
    Unten links KachelX 2107 KachelY + 1 6206 -2.33356827 0.69714448 -133.703613 39.943436
    Unten rechts KachelX + 1 2108 KachelY + 1 6206 -2.33318478 0.69714448 -133.681641 39.943436
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.69743846-0.69714448) × R
    0.000293980000000027 × 6371000     		dl = 1872.94658000017m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.69743846-0.69714448) × R
    0.000293980000000027 × 6371000     		dr = 1872.94658000017m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-2.33356827--2.33318478) × cos(0.69743846) × R
    0.000383489999999931 × 0.766489865604712 × 6371000     		do = 1872.69937603021m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-2.33356827--2.33318478) × cos(0.69714448) × R
    0.000383489999999931 × 0.766678643017404 × 6371000     		du = 1873.16059979691m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.69743846)-sin(0.69714448))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.766489865604712-0.766678643017404)×R²
    abs(-2.33318478--2.33356827)×0.000188777412691854×R²
    0.000383489999999931×0.000188777412691854×6371000²
    0.000383489999999931×0.000188777412691854×40589641000000     		ar = 3507897.84070624m²