Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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12 / 2107 / 1469
↖ ↑ ↗
← N 45.274887°
E  5.185547°		 ← 6 877.31 m → N 45.274887°
E  5.273438°		 →
↑
6 881.06 m
↓
↑
6 881.06 m
↓
N 45.213004°
E  5.185547°		 ← 6 884.81 m →
47 348 999 m²		 N 45.213004°
E  5.273438°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 12 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 2107 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 1469 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.5145263671875 y=0.3587646484375 und der Vergrößerungsstufe zoom=12 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.5145263671875 × 212)
    floor (0.5145263671875 × 4096)
    floor (2107.5)     		tx = 2107
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.3587646484375 × 212)
    floor (0.3587646484375 × 4096)
    floor (1469.5)     		ty = 1469
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 12 / 2107 / 1469 ti = "12/2107/1469"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/12/2107/1469.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 2107 ÷ 212
    2107 ÷ 4096     		x = 0.514404296875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 1469 ÷ 212
    1469 ÷ 4096     		y = 0.358642578125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.514404296875 × 2 - 1) × π
    0.02880859375 × 3.1415926535     		Λ = 0.09050487
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.358642578125 × 2 - 1) × π
    0.28271484375 × 3.1415926535     		Φ = 0.8881748761604
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.09050487} λ = 0.09050487}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.8881748761604))-π/2
    2×atan(2.43068929144669)-π/2
    2×1.18049608178503-π/2
    2.36099216357006-1.57079632675     		φ = 0.79019584
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.09050487} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 5.185547°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.79019584 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 45.274887°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 2107 KachelY 1469 0.09050487 0.79019584 5.185547 45.274887
    Oben rechts KachelX + 1 2108 KachelY 1469 0.09203885 0.79019584 5.273438 45.274887
    Unten links KachelX 2107 KachelY + 1 1470 0.09050487 0.78911578 5.185547 45.213004
    Unten rechts KachelX + 1 2108 KachelY + 1 1470 0.09203885 0.78911578 5.273438 45.213004
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.79019584-0.78911578) × R
    0.00108005999999994 × 6371000     		dl = 6881.06225999961m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.79019584-0.78911578) × R
    0.00108005999999994 × 6371000     		dr = 6881.06225999961m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.09050487-0.09203885) × cos(0.79019584) × R
    0.00153398 × 0.703706186570858 × 6371000     		do = 6877.31111761999m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.09050487-0.09203885) × cos(0.78911578) × R
    0.00153398 × 0.70447314899197 × 6371000     		du = 6884.80663106889m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.79019584)-sin(0.78911578))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.703706186570858-0.70447314899197)×R²
    abs(0.09203885-0.09050487)×0.000766962421112516×R²
    0.00153398×0.000766962421112516×6371000²
    0.00153398×0.000766962421112516×40589641000000     		ar = 47348999.1319226m²