Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 21049 / 4999
↖ ↑ ↗
← N 77.140057°
E 51.251221°		 ← 271.88 m → N 77.140057°
E 51.262207°		 →
↑
271.91 m
↓
↑
271.91 m
↓
N 77.137612°
E 51.251221°		 ← 271.94 m →
73 936 m²		 N 77.137612°
E 51.262207°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 21049 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 4999 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.642379760742188 y=0.152572631835938 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.642379760742188 × 215)
    floor (0.642379760742188 × 32768)
    floor (21049.5)     		tx = 21049
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.152572631835938 × 215)
    floor (0.152572631835938 × 32768)
    floor (4999.5)     		ty = 4999
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 21049 / 4999 ti = "15/21049/4999"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/21049/4999.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 21049 ÷ 215
    21049 ÷ 32768     		x = 0.642364501953125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 4999 ÷ 215
    4999 ÷ 32768     		y = 0.152557373046875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.642364501953125 × 2 - 1) × π
    0.28472900390625 × 3.1415926535     		Λ = 0.89450255
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.152557373046875 × 2 - 1) × π
    0.69488525390625 × 3.1415926535     		Φ = 2.18304640869736
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.89450255} λ = 0.89450255}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.18304640869736))-π/2
    2×atan(8.87329681430452)-π/2
    2×1.45857215537357-π/2
    2.91714431074714-1.57079632675     		φ = 1.34634798
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.89450255} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 51.251221°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.34634798 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 77.140057°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 21049 KachelY 4999 0.89450255 1.34634798 51.251221 77.140057
    Oben rechts KachelX + 1 21050 KachelY 4999 0.89469429 1.34634798 51.262207 77.140057
    Unten links KachelX 21049 KachelY + 1 5000 0.89450255 1.34630530 51.251221 77.137612
    Unten rechts KachelX + 1 21050 KachelY + 1 5000 0.89469429 1.34630530 51.262207 77.137612
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.34634798-1.34630530) × R
    4.26799999999616e-05 × 6371000     		dl = 271.914279999756m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.34634798-1.34630530) × R
    4.26799999999616e-05 × 6371000     		dr = 271.914279999756m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.89450255-0.89469429) × cos(1.34634798) × R
    0.000191739999999996 × 0.222568579917536 × 6371000     		do = 271.884333199791m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.89450255-0.89469429) × cos(1.34630530) × R
    0.000191739999999996 × 0.22261018917391 × 6371000     		du = 271.935162049615m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.34634798)-sin(1.34630530))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.222568579917536-0.22261018917391)×R²
    abs(0.89469429-0.89450255)×4.16092563736148e-05×R²
    0.000191739999999996×4.16092563736148e-05×6371000²
    0.000191739999999996×4.16092563736148e-05×40589641000000     		ar = 73936.1432614384m²