Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 21049 / 4993
↖ ↑ ↗
← N 77.154720°
E 51.251221°		 ← 271.58 m → N 77.154720°
E 51.262207°		 →
↑
271.60 m
↓
↑
271.60 m
↓
N 77.152278°
E 51.251221°		 ← 271.63 m →
73 767 m²		 N 77.152278°
E 51.262207°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 21049 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 4993 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.642379760742188 y=0.152389526367188 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.642379760742188 × 215)
    floor (0.642379760742188 × 32768)
    floor (21049.5)     		tx = 21049
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.152389526367188 × 215)
    floor (0.152389526367188 × 32768)
    floor (4993.5)     		ty = 4993
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 21049 / 4993 ti = "15/21049/4993"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/21049/4993.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 21049 ÷ 215
    21049 ÷ 32768     		x = 0.642364501953125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 4993 ÷ 215
    4993 ÷ 32768     		y = 0.152374267578125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.642364501953125 × 2 - 1) × π
    0.28472900390625 × 3.1415926535     		Λ = 0.89450255
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.152374267578125 × 2 - 1) × π
    0.69525146484375 × 3.1415926535     		Φ = 2.18419689428824
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.89450255} λ = 0.89450255}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.18419689428824))-π/2
    2×atan(8.88351128910936)-π/2
    2×1.45870011456732-π/2
    2.91740022913464-1.57079632675     		φ = 1.34660390
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.89450255} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 51.251221°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.34660390 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 77.154720°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 21049 KachelY 4993 0.89450255 1.34660390 51.251221 77.154720
    Oben rechts KachelX + 1 21050 KachelY 4993 0.89469429 1.34660390 51.262207 77.154720
    Unten links KachelX 21049 KachelY + 1 4994 0.89450255 1.34656127 51.251221 77.152278
    Unten rechts KachelX + 1 21050 KachelY + 1 4994 0.89469429 1.34656127 51.262207 77.152278
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.34660390-1.34656127) × R
    4.26300000000435e-05 × 6371000     		dl = 271.595730000277m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.34660390-1.34656127) × R
    4.26300000000435e-05 × 6371000     		dr = 271.595730000277m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.89450255-0.89469429) × cos(1.34660390) × R
    0.000191739999999996 × 0.222319071863817 × 6371000     		do = 271.579540264335m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.89450255-0.89469429) × cos(1.34656127) × R
    0.000191739999999996 × 0.222360634801873 × 6371000     		du = 271.630312532835m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.34660390)-sin(1.34656127))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.222319071863817-0.222360634801873)×R²
    abs(0.89469429-0.89450255)×4.15629380564608e-05×R²
    0.000191739999999996×4.15629380564608e-05×6371000²
    0.000191739999999996×4.15629380564608e-05×40589641000000     		ar = 73766.7382683887m²