Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 21041 / 12175
↖ ↑ ↗
← N 81.141138°
W122.209168°		 ← 47.04 m → N 81.141138°
W122.206421°		 →
↑
47.02 m
↓
↑
47.02 m
↓
N 81.140715°
W122.209168°		 ← 47.04 m →
2 212 m²		 N 81.140715°
W122.206421°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 21041 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 12175 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.160533905029297 y=0.0928916931152344 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.160533905029297 × 217)
    floor (0.160533905029297 × 131072)
    floor (21041.5)     		tx = 21041
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.0928916931152344 × 217)
    floor (0.0928916931152344 × 131072)
    floor (12175.5)     		ty = 12175
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 21041 / 12175 ti = "17/21041/12175"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/21041/12175.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 21041 ÷ 217
    21041 ÷ 131072     		x = 0.160530090332031
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 12175 ÷ 217
    12175 ÷ 131072     		y = 0.0928878784179688
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.160530090332031 × 2 - 1) × π
    -0.678939819335938 × 3.1415926535     		Λ = -2.13295235
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.0928878784179688 × 2 - 1) × π
    0.814224243164062 × 3.1415926535     		Φ = 2.55796090062582
    Länge (λ) Λ (unverändert) -2.13295235} λ = -2.13295235}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.55796090062582))-π/2
    2×atan(12.9094667733677)-π/2
    2×1.49348817458046-π/2
    2.98697634916093-1.57079632675     		φ = 1.41618002
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -2.13295235} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -122.209168°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.41618002 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 81.141138°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 21041 KachelY 12175 -2.13295235 1.41618002 -122.209168 81.141138
    Oben rechts KachelX + 1 21042 KachelY 12175 -2.13290441 1.41618002 -122.206421 81.141138
    Unten links KachelX 21041 KachelY + 1 12176 -2.13295235 1.41617264 -122.209168 81.140715
    Unten rechts KachelX + 1 21042 KachelY + 1 12176 -2.13290441 1.41617264 -122.206421 81.140715
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.41618002-1.41617264) × R
    7.38000000000127e-06 × 6371000     		dl = 47.0179800000081m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.41618002-1.41617264) × R
    7.38000000000127e-06 × 6371000     		dr = 47.0179800000081m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-2.13295235--2.13290441) × cos(1.41618002) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.154000994625567 × 6371000     		do = 47.0358677442191m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-2.13295235--2.13290441) × cos(1.41617264) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.154008286583085 × 6371000     		du = 47.0380948957401m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.41618002)-sin(1.41617264))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.154000994625567-0.154008286583085)×R²
    abs(-2.13290441--2.13295235)×7.2919575178354e-06×R²
    4.79399999999686e-05×7.2919575178354e-06×6371000²
    4.79399999999686e-05×7.2919575178354e-06×40589641000000     		ar = 2211.58384707222m²