Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 21040 / 12176
↖ ↑ ↗
← N 81.140715°
W122.211914°		 ← 47.04 m → N 81.140715°
W122.209168°		 →
↑
47.02 m
↓
↑
47.02 m
↓
N 81.140292°
W122.211914°		 ← 47.04 m →
2 212 m²		 N 81.140292°
W122.209168°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 21040 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 12176 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.160526275634766 y=0.0928993225097656 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.160526275634766 × 217)
    floor (0.160526275634766 × 131072)
    floor (21040.5)     		tx = 21040
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.0928993225097656 × 217)
    floor (0.0928993225097656 × 131072)
    floor (12176.5)     		ty = 12176
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 21040 / 12176 ti = "17/21040/12176"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/21040/12176.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 21040 ÷ 217
    21040 ÷ 131072     		x = 0.1605224609375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 12176 ÷ 217
    12176 ÷ 131072     		y = 0.0928955078125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.1605224609375 × 2 - 1) × π
    -0.678955078125 × 3.1415926535     		Λ = -2.13300029
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.0928955078125 × 2 - 1) × π
    0.814208984375 × 3.1415926535     		Φ = 2.5579129637262
    Länge (λ) Λ (unverändert) -2.13300029} λ = -2.13300029}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.5579129637262))-π/2
    2×atan(12.9088479483873)-π/2
    2×1.49348448332799-π/2
    2.98696896665599-1.57079632675     		φ = 1.41617264
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -2.13300029} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -122.211914°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.41617264 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 81.140715°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 21040 KachelY 12176 -2.13300029 1.41617264 -122.211914 81.140715
    Oben rechts KachelX + 1 21041 KachelY 12176 -2.13295235 1.41617264 -122.209168 81.140715
    Unten links KachelX 21040 KachelY + 1 12177 -2.13300029 1.41616526 -122.211914 81.140292
    Unten rechts KachelX + 1 21041 KachelY + 1 12177 -2.13295235 1.41616526 -122.209168 81.140292
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.41617264-1.41616526) × R
    7.38000000000127e-06 × 6371000     		dl = 47.0179800000081m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.41617264-1.41616526) × R
    7.38000000000127e-06 × 6371000     		dr = 47.0179800000081m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-2.13300029--2.13295235) × cos(1.41617264) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.154008286583085 × 6371000     		do = 47.0380948957401m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-2.13300029--2.13295235) × cos(1.41616526) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.154015578532215 × 6371000     		du = 47.0403220446991m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.41617264)-sin(1.41616526))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.154008286583085-0.154015578532215)×R²
    abs(-2.13295235--2.13300029)×7.29194912987841e-06×R²
    4.79399999999686e-05×7.29194912987841e-06×6371000²
    4.79399999999686e-05×7.29194912987841e-06×40589641000000     		ar = 2211.68856296921m²