Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
14 / 2104 / 6258
↖ ↑ ↗
← N 39.061849°
W133.769531°		 ← 1 897.12 m → N 39.061849°
W133.747558°		 →
↑
1 897.35 m
↓
↑
1 897.35 m
↓
N 39.044786°
W133.769531°		 ← 1 897.58 m →
3 599 937 m²		 N 39.044786°
W133.747558°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 2104 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 6258 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.128448486328125 y=0.381988525390625 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.128448486328125 × 214)
    floor (0.128448486328125 × 16384)
    floor (2104.5)     		tx = 2104
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.381988525390625 × 214)
    floor (0.381988525390625 × 16384)
    floor (6258.5)     		ty = 6258
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 2104 / 6258 ti = "14/2104/6258"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/2104/6258.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 2104 ÷ 214
    2104 ÷ 16384     		x = 0.12841796875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 6258 ÷ 214
    6258 ÷ 16384     		y = 0.3819580078125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.12841796875 × 2 - 1) × π
    -0.7431640625 × 3.1415926535     		Λ = -2.33471876
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.3819580078125 × 2 - 1) × π
    0.236083984375 × 3.1415926535     		Φ = 0.741679710921509
    Länge (λ) Λ (unverändert) -2.33471876} λ = -2.33471876}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.741679710921509))-π/2
    2×atan(2.09945903869143)-π/2
    2×1.12627710304456-π/2
    2.25255420608912-1.57079632675     		φ = 0.68175788
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -2.33471876} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -133.769531°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.68175788 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 39.061849°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 2104 KachelY 6258 -2.33471876 0.68175788 -133.769531 39.061849
    Oben rechts KachelX + 1 2105 KachelY 6258 -2.33433526 0.68175788 -133.747558 39.061849
    Unten links KachelX 2104 KachelY + 1 6259 -2.33471876 0.68146007 -133.769531 39.044786
    Unten rechts KachelX + 1 2105 KachelY + 1 6259 -2.33433526 0.68146007 -133.747558 39.044786
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.68175788-0.68146007) × R
    0.000297810000000065 × 6371000     		dl = 1897.34751000041m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.68175788-0.68146007) × R
    0.000297810000000065 × 6371000     		dr = 1897.34751000041m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-2.33471876--2.33433526) × cos(0.68175788) × R
    0.00038349999999987 × 0.776466175234358 × 6371000     		do = 1897.1231119267m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-2.33471876--2.33433526) × cos(0.68146007) × R
    0.00038349999999987 × 0.776653808430218 × 6371000     		du = 1897.58155208003m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.68175788)-sin(0.68146007))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.776466175234358-0.776653808430218)×R²
    abs(-2.33433526--2.33471876)×0.000187633195859682×R²
    0.00038349999999987×0.000187633195859682×6371000²
    0.00038349999999987×0.000187633195859682×40589641000000     		ar = 3599936.74932729m²