Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 21025 / 12323
↖ ↑ ↗
← N 81.078318°
W122.253113°		 ← 47.37 m → N 81.078318°
W122.250366°		 →
↑
47.40 m
↓
↑
47.40 m
↓
N 81.077892°
W122.253113°		 ← 47.37 m →
2 245 m²		 N 81.077892°
W122.250366°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 21025 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 12323 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.160411834716797 y=0.0940208435058594 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.160411834716797 × 217)
    floor (0.160411834716797 × 131072)
    floor (21025.5)     		tx = 21025
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.0940208435058594 × 217)
    floor (0.0940208435058594 × 131072)
    floor (12323.5)     		ty = 12323
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 21025 / 12323 ti = "17/21025/12323"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/21025/12323.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 21025 ÷ 217
    21025 ÷ 131072     		x = 0.160408020019531
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 12323 ÷ 217
    12323 ÷ 131072     		y = 0.0940170288085938
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.160408020019531 × 2 - 1) × π
    -0.679183959960938 × 3.1415926535     		Λ = -2.13371934
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.0940170288085938 × 2 - 1) × π
    0.811965942382812 × 3.1415926535     		Φ = 2.55086623948205
    Länge (λ) Λ (unverändert) -2.13371934} λ = -2.13371934}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.55086623948205))-π/2
    2×atan(12.8182026080366)-π/2
    2×1.49293996301777-π/2
    2.98587992603554-1.57079632675     		φ = 1.41508360
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -2.13371934} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -122.253113°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.41508360 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 81.078318°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 21025 KachelY 12323 -2.13371934 1.41508360 -122.253113 81.078318
    Oben rechts KachelX + 1 21026 KachelY 12323 -2.13367140 1.41508360 -122.250366 81.078318
    Unten links KachelX 21025 KachelY + 1 12324 -2.13371934 1.41507616 -122.253113 81.077892
    Unten rechts KachelX + 1 21026 KachelY + 1 12324 -2.13367140 1.41507616 -122.250366 81.077892
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.41508360-1.41507616) × R
    7.44000000008072e-06 × 6371000     		dl = 47.4002400005142m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.41508360-1.41507616) × R
    7.44000000008072e-06 × 6371000     		dr = 47.4002400005142m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-2.13371934--2.13367140) × cos(1.41508360) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.155084242312215 × 6371000     		do = 47.3667194705164m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-2.13371934--2.13367140) × cos(1.41507616) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.155091592293215 × 6371000     		du = 47.3689643439025m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.41508360)-sin(1.41507616))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.155084242312215-0.155091592293215)×R²
    abs(-2.13367140--2.13371934)×7.34998100038187e-06×R²
    4.79399999999686e-05×7.34998100038187e-06×6371000²
    4.79399999999686e-05×7.34998100038187e-06×40589641000000     		ar = 2245.24707463546m²