Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 21023 / 5284
↖ ↑ ↗
← N 76.424292°
E 50.965576°		 ← 286.76 m → N 76.424292°
E 50.976563°		 →
↑
286.82 m
↓
↑
286.82 m
↓
N 76.421713°
E 50.965576°		 ← 286.81 m →
82 256 m²		 N 76.421713°
E 50.976563°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 21023 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 5284 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.641586303710938 y=0.161270141601562 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.641586303710938 × 215)
    floor (0.641586303710938 × 32768)
    floor (21023.5)     		tx = 21023
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.161270141601562 × 215)
    floor (0.161270141601562 × 32768)
    floor (5284.5)     		ty = 5284
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 21023 / 5284 ti = "15/21023/5284"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/21023/5284.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 21023 ÷ 215
    21023 ÷ 32768     		x = 0.641571044921875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 5284 ÷ 215
    5284 ÷ 32768     		y = 0.1612548828125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.641571044921875 × 2 - 1) × π
    0.28314208984375 × 3.1415926535     		Λ = 0.88951711
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.1612548828125 × 2 - 1) × π
    0.677490234375 × 3.1415926535     		Φ = 2.12839834313049
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.88951711} λ = 0.88951711}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.12839834313049))-π/2
    2×atan(8.4013998697943)-π/2
    2×1.45232592660548-π/2
    2.90465185321097-1.57079632675     		φ = 1.33385553
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.88951711} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 50.965576°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.33385553 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 76.424292°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 21023 KachelY 5284 0.88951711 1.33385553 50.965576 76.424292
    Oben rechts KachelX + 1 21024 KachelY 5284 0.88970886 1.33385553 50.976563 76.424292
    Unten links KachelX 21023 KachelY + 1 5285 0.88951711 1.33381051 50.965576 76.421713
    Unten rechts KachelX + 1 21024 KachelY + 1 5285 0.88970886 1.33381051 50.976563 76.421713
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.33385553-1.33381051) × R
    4.50199999999512e-05 × 6371000     		dl = 286.822419999689m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.33385553-1.33381051) × R
    4.50199999999512e-05 × 6371000     		dr = 286.822419999689m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.88951711-0.88970886) × cos(1.33385553) × R
    0.000191750000000046 × 0.234729998520367 × 6371000     		do = 286.755379344991m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.88951711-0.88970886) × cos(1.33381051) × R
    0.000191750000000046 × 0.234773760451099 × 6371000     		du = 286.808840637229m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.33385553)-sin(1.33381051))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.234729998520367-0.234773760451099)×R²
    abs(0.88970886-0.88951711)×4.37619307321335e-05×R²
    0.000191750000000046×4.37619307321335e-05×6371000²
    0.000191750000000046×4.37619307321335e-05×40589641000000     		ar = 82255.5388142152m²