Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 21023 / 5280
↖ ↑ ↗
← N 76.434604°
E 50.965576°		 ← 286.54 m → N 76.434604°
E 50.976563°		 →
↑
286.57 m
↓
↑
286.57 m
↓
N 76.432027°
E 50.965576°		 ← 286.60 m →
82 121 m²		 N 76.432027°
E 50.976563°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 21023 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 5280 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.641586303710938 y=0.161148071289062 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.641586303710938 × 215)
    floor (0.641586303710938 × 32768)
    floor (21023.5)     		tx = 21023
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.161148071289062 × 215)
    floor (0.161148071289062 × 32768)
    floor (5280.5)     		ty = 5280
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 21023 / 5280 ti = "15/21023/5280"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/21023/5280.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 21023 ÷ 215
    21023 ÷ 32768     		x = 0.641571044921875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 5280 ÷ 215
    5280 ÷ 32768     		y = 0.1611328125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.641571044921875 × 2 - 1) × π
    0.28314208984375 × 3.1415926535     		Λ = 0.88951711
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.1611328125 × 2 - 1) × π
    0.677734375 × 3.1415926535     		Φ = 2.12916533352441
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.88951711} λ = 0.88951711}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.12916533352441))-π/2
    2×atan(8.40784613458549)-π/2
    2×1.45241591088479-π/2
    2.90483182176958-1.57079632675     		φ = 1.33403550
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.88951711} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 50.965576°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.33403550 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 76.434604°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 21023 KachelY 5280 0.88951711 1.33403550 50.965576 76.434604
    Oben rechts KachelX + 1 21024 KachelY 5280 0.88970886 1.33403550 50.976563 76.434604
    Unten links KachelX 21023 KachelY + 1 5281 0.88951711 1.33399052 50.965576 76.432027
    Unten rechts KachelX + 1 21024 KachelY + 1 5281 0.88970886 1.33399052 50.976563 76.432027
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.33403550-1.33399052) × R
    4.49799999999723e-05 × 6371000     		dl = 286.567579999823m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.33403550-1.33399052) × R
    4.49799999999723e-05 × 6371000     		dr = 286.567579999823m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.88951711-0.88970886) × cos(1.33403550) × R
    0.000191750000000046 × 0.23455505297213 × 6371000     		do = 286.541658996652m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.88951711-0.88970886) × cos(1.33399052) × R
    0.000191750000000046 × 0.23459877792048 × 6371000     		du = 286.595075109761m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.33403550)-sin(1.33399052))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.23455505297213-0.23459877792048)×R²
    abs(0.88970886-0.88951711)×4.3724948350421e-05×R²
    0.000191750000000046×4.3724948350421e-05×6371000²
    0.000191750000000046×4.3724948350421e-05×40589641000000     		ar = 82121.2034647513m²