Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 21020 / 5282
↖ ↑ ↗
← N 76.429449°
E 50.932617°		 ← 286.63 m → N 76.429449°
E 50.943603°		 →
↑
286.70 m
↓
↑
286.70 m
↓
N 76.426871°
E 50.932617°		 ← 286.69 m →
82 184 m²		 N 76.426871°
E 50.943603°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 21020 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 5282 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.641494750976562 y=0.161209106445312 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.641494750976562 × 215)
    floor (0.641494750976562 × 32768)
    floor (21020.5)     		tx = 21020
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.161209106445312 × 215)
    floor (0.161209106445312 × 32768)
    floor (5282.5)     		ty = 5282
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 21020 / 5282 ti = "15/21020/5282"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/21020/5282.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 21020 ÷ 215
    21020 ÷ 32768     		x = 0.6414794921875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 5282 ÷ 215
    5282 ÷ 32768     		y = 0.16119384765625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.6414794921875 × 2 - 1) × π
    0.282958984375 × 3.1415926535     		Λ = 0.88894187
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.16119384765625 × 2 - 1) × π
    0.6776123046875 × 3.1415926535     		Φ = 2.12878183832745
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.88894187} λ = 0.88894187}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.12878183832745))-π/2
    2×atan(8.40462238416201)-π/2
    2×1.45237092713142-π/2
    2.90474185426284-1.57079632675     		φ = 1.33394553
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.88894187} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 50.932617°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.33394553 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 76.429449°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 21020 KachelY 5282 0.88894187 1.33394553 50.932617 76.429449
    Oben rechts KachelX + 1 21021 KachelY 5282 0.88913361 1.33394553 50.943603 76.429449
    Unten links KachelX 21020 KachelY + 1 5283 0.88894187 1.33390053 50.932617 76.426871
    Unten rechts KachelX + 1 21021 KachelY + 1 5283 0.88913361 1.33390053 50.943603 76.426871
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.33394553-1.33390053) × R
    4.50000000000728e-05 × 6371000     		dl = 286.695000000464m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.33394553-1.33390053) × R
    4.50000000000728e-05 × 6371000     		dr = 286.695000000464m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.88894187-0.88913361) × cos(1.33394553) × R
    0.000191739999999996 × 0.234642512115008 × 6371000     		do = 286.633553443841m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.88894187-0.88913361) × cos(1.33390053) × R
    0.000191739999999996 × 0.234686255555307 × 6371000     		du = 286.686989360546m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.33394553)-sin(1.33390053))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.234642512115008-0.234686255555307)×R²
    abs(0.88913361-0.88894187)×4.37434402993098e-05×R²
    0.000191739999999996×4.37434402993098e-05×6371000²
    0.000191739999999996×4.37434402993098e-05×40589641000000     		ar = 82184.0665236989m²