Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 21008 / 12208
↖ ↑ ↗
← N 81.127169°
W122.299805°		 ← 47.11 m → N 81.127169°
W122.297058°		 →
↑
47.15 m
↓
↑
47.15 m
↓
N 81.126745°
W122.299805°		 ← 47.11 m →
2 221 m²		 N 81.126745°
W122.297058°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 21008 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 12208 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.160282135009766 y=0.0931434631347656 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.160282135009766 × 217)
    floor (0.160282135009766 × 131072)
    floor (21008.5)     		tx = 21008
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.0931434631347656 × 217)
    floor (0.0931434631347656 × 131072)
    floor (12208.5)     		ty = 12208
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 21008 / 12208 ti = "17/21008/12208"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/21008/12208.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 21008 ÷ 217
    21008 ÷ 131072     		x = 0.1602783203125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 12208 ÷ 217
    12208 ÷ 131072     		y = 0.0931396484375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.1602783203125 × 2 - 1) × π
    -0.679443359375 × 3.1415926535     		Λ = -2.13453427
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.0931396484375 × 2 - 1) × π
    0.813720703125 × 3.1415926535     		Φ = 2.55637898293835
    Länge (λ) Λ (unverändert) -2.13453427} λ = -2.13453427}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.55637898293835))-π/2
    2×atan(12.8890612037643)-π/2
    2×1.49336627088913-π/2
    2.98673254177825-1.57079632675     		φ = 1.41593622
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -2.13453427} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -122.299805°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.41593622 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 81.127169°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 21008 KachelY 12208 -2.13453427 1.41593622 -122.299805 81.127169
    Oben rechts KachelX + 1 21009 KachelY 12208 -2.13448633 1.41593622 -122.297058 81.127169
    Unten links KachelX 21008 KachelY + 1 12209 -2.13453427 1.41592882 -122.299805 81.126745
    Unten rechts KachelX + 1 21009 KachelY + 1 12209 -2.13448633 1.41592882 -122.297058 81.126745
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.41593622-1.41592882) × R
    7.40000000010177e-06 × 6371000     		dl = 47.1454000006484m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.41593622-1.41592882) × R
    7.40000000010177e-06 × 6371000     		dr = 47.1454000006484m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-2.13453427--2.13448633) × cos(1.41593622) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.154241881681257 × 6371000     		do = 47.1094408514596m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-2.13453427--2.13448633) × cos(1.41592882) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.154249193122106 × 6371000     		du = 47.1116739536913m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.41593622)-sin(1.41592882))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.154241881681257-0.154249193122106)×R²
    abs(-2.13448633--2.13453427)×7.31144084886726e-06×R²
    4.79399999999686e-05×7.31144084886726e-06×6371000²
    4.79399999999686e-05×7.31144084886726e-06×40589641000000     		ar = 2221.04607285213m²