Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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13 / 2100 / 6344
↖ ↑ ↗
← S 69.778952°
W 87.714844°		 ← 1 688.98 m → S 69.778952°
W 87.670899°		 →
↑
1 688.38 m
↓
↑
1 688.38 m
↓
S 69.794136°
W 87.714844°		 ← 1 687.77 m →
2 850 615 m²		 S 69.794136°
W 87.670899°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 13 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 2100 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 6344 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.25640869140625 y=0.77447509765625 und der Vergrößerungsstufe zoom=13 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.25640869140625 × 213)
    floor (0.25640869140625 × 8192)
    floor (2100.5)     		tx = 2100
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.77447509765625 × 213)
    floor (0.77447509765625 × 8192)
    floor (6344.5)     		ty = 6344
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 13 / 2100 / 6344 ti = "13/2100/6344"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/13/2100/6344.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 2100 ÷ 213
    2100 ÷ 8192     		x = 0.25634765625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 6344 ÷ 213
    6344 ÷ 8192     		y = 0.7744140625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.25634765625 × 2 - 1) × π
    -0.4873046875 × 3.1415926535     		Λ = -1.53091283
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.7744140625 × 2 - 1) × π
    -0.548828125 × 3.1415926535     		Φ = -1.72419440553418
    Länge (λ) Λ (unverändert) -1.53091283} λ = -1.53091283}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.72419440553418))-π/2
    2×atan(0.178316644828485)-π/2
    2×0.176461934861112-π/2
    0.352923869722225-1.57079632675     		φ = -1.21787246
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -1.53091283} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -87.714844°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.21787246 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -69.778952°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 2100 KachelY 6344 -1.53091283 -1.21787246 -87.714844 -69.778952
    Oben rechts KachelX + 1 2101 KachelY 6344 -1.53014584 -1.21787246 -87.670899 -69.778952
    Unten links KachelX 2100 KachelY + 1 6345 -1.53091283 -1.21813747 -87.714844 -69.794136
    Unten rechts KachelX + 1 2101 KachelY + 1 6345 -1.53014584 -1.21813747 -87.670899 -69.794136
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.21787246--1.21813747) × R
    0.000265010000000121 × 6371000     		dl = 1688.37871000077m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.21787246--1.21813747) × R
    0.000265010000000121 × 6371000     		dr = 1688.37871000077m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-1.53091283--1.53014584) × cos(-1.21787246) × R
    0.000766989999999801 × 0.345642938510007 × 6371000     		do = 1688.9818997646m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-1.53091283--1.53014584) × cos(-1.21813747) × R
    0.000766989999999801 × 0.345394249972427 × 6371000     		du = 1687.76668489441m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.21787246)-sin(-1.21813747))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.345642938510007-0.345394249972427)×R²
    abs(-1.53014584--1.53091283)×0.000248688537579866×R²
    0.000766989999999801×0.000248688537579866×6371000²
    0.000766989999999801×0.000248688537579866×40589641000000     		ar = 2850615.22636541m²