Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
9 / 210 / 52
↖ ↑ ↗
← N 80.647035°
W 32.343750°		 ← 12.706 km → N 80.647035°
W 31.640625°		 →
↑
12.783 km
↓
↑
12.783 km
↓
N 80.532071°
W 32.343750°		 ← 12.861 km →
163.417 km²		 N 80.532071°
W 31.640625°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 9 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 210 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 52 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.4111328125 y=0.1025390625 und der Vergrößerungsstufe zoom=9 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.4111328125 × 29)
    floor (0.4111328125 × 512)
    floor (210.5)     		tx = 210
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.1025390625 × 29)
    floor (0.1025390625 × 512)
    floor (52.5)     		ty = 52
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 9 / 210 / 52 ti = "9/210/52"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/9/210/52.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 210 ÷ 29
    210 ÷ 512     		x = 0.41015625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 52 ÷ 29
    52 ÷ 512     		y = 0.1015625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.41015625 × 2 - 1) × π
    -0.1796875 × 3.1415926535     		Λ = -0.56450493
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.1015625 × 2 - 1) × π
    0.796875 × 3.1415926535     		Φ = 2.50345664575781
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.56450493} λ = -0.56450493}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.50345664575781))-π/2
    2×atan(12.2246773913586)-π/2
    2×1.4891763075478-π/2
    2.9783526150956-1.57079632675     		φ = 1.40755629
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.56450493} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -32.343750°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.40755629 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 80.647035°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 210 KachelY 52 -0.56450493 1.40755629 -32.343750 80.647035
    Oben rechts KachelX + 1 211 KachelY 52 -0.55223308 1.40755629 -31.640625 80.647035
    Unten links KachelX 210 KachelY + 1 53 -0.56450493 1.40554979 -32.343750 80.532071
    Unten rechts KachelX + 1 211 KachelY + 1 53 -0.55223308 1.40554979 -31.640625 80.532071
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.40755629-1.40554979) × R
    0.00200650000000002 × 6371000     		dl = 12783.4115000001m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.40755629-1.40554979) × R
    0.00200650000000002 × 6371000     		dr = 12783.4115000001m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.56450493--0.55223308) × cos(1.40755629) × R
    0.01227185 × 0.162516017493157 × 6371000     		do = 12706.1452178608m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.56450493--0.55223308) × cos(1.40554979) × R
    0.01227185 × 0.164495514416111 × 6371000     		du = 12860.91011888m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.40755629)-sin(1.40554979))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.162516017493157-0.164495514416111)×R²
    abs(-0.55223308--0.56450493)×0.00197949692295407×R²
    0.01227185×0.00197949692295407×6371000²
    0.01227185×0.00197949692295407×40589641000000     		ar = 163417149.433467m²