Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 20970 / 4952
↖ ↑ ↗
← N 77.254479°
E 50.383301°		 ← 269.51 m → N 77.254479°
E 50.394287°		 →
↑
269.56 m
↓
↑
269.56 m
↓
N 77.252055°
E 50.383301°		 ← 269.56 m →
72 654 m²		 N 77.252055°
E 50.394287°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 20970 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 4952 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.639968872070312 y=0.151138305664062 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.639968872070312 × 215)
    floor (0.639968872070312 × 32768)
    floor (20970.5)     		tx = 20970
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.151138305664062 × 215)
    floor (0.151138305664062 × 32768)
    floor (4952.5)     		ty = 4952
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 20970 / 4952 ti = "15/20970/4952"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/20970/4952.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 20970 ÷ 215
    20970 ÷ 32768     		x = 0.63995361328125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 4952 ÷ 215
    4952 ÷ 32768     		y = 0.151123046875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.63995361328125 × 2 - 1) × π
    0.2799072265625 × 3.1415926535     		Λ = 0.87935449
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.151123046875 × 2 - 1) × π
    0.69775390625 × 3.1415926535     		Φ = 2.19205854582593
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.87935449} λ = 0.87935449}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.19205854582593))-π/2
    2×atan(8.95362560533558)-π/2
    2×1.45957067102389-π/2
    2.91914134204779-1.57079632675     		φ = 1.34834502
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.87935449} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 50.383301°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.34834502 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 77.254479°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 20970 KachelY 4952 0.87935449 1.34834502 50.383301 77.254479
    Oben rechts KachelX + 1 20971 KachelY 4952 0.87954623 1.34834502 50.394287 77.254479
    Unten links KachelX 20970 KachelY + 1 4953 0.87935449 1.34830271 50.383301 77.252055
    Unten rechts KachelX + 1 20971 KachelY + 1 4953 0.87954623 1.34830271 50.394287 77.252055
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.34834502-1.34830271) × R
    4.23099999999899e-05 × 6371000     		dl = 269.557009999935m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.34834502-1.34830271) × R
    4.23099999999899e-05 × 6371000     		dr = 269.557009999935m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.87935449-0.87954623) × cos(1.34834502) × R
    0.000191739999999996 × 0.220621189073553 × 6371000     		do = 269.505448177962m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.87935449-0.87954623) × cos(1.34830271) × R
    0.000191739999999996 × 0.22066245633948 × 6371000     		du = 269.555859260621m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.34834502)-sin(1.34830271))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.220621189073553-0.22066245633948)×R²
    abs(0.87954623-0.87935449)×4.1267265926459e-05×R²
    0.000191739999999996×4.1267265926459e-05×6371000²
    0.000191739999999996×4.1267265926459e-05×40589641000000     		ar = 72653.87713038m²